5. Статистическая вероятность

Статистическая вероятность — это постоянная величина, которая выражает вероятность случайного события на основе экспериментов. Идея в том, что если проводить много экспериментов, относительная частота события начнет приближаться к его вероятности.

Например:

• Если мы подбрасываем монету 1000 раз, то ожидаем, что «орел» выпадет примерно в половине случаев. Это и будет статистическая вероятность — P(орел)=0.5P

6. Геометрические вероятности

Иногда исходы эксперимента не сосчитать, потому что их бесконечно много. Например, если случайным образом выбирается точка на отрезке или в области, то используется геометрическая вероятность.

• Формула геометрической вероятности: Например:

  • Представьте круг радиусом 2 внутри квадрата со стороной 4. Вероятность случайного попадания точки в круг равна:

7. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Когда у нас есть два события A и B, которые не могут произойти одновременно (например, выпадение «орла» и «решки»), вероятность того, что произойдет одно из них, равна сумме их вероятностей:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Пример:

• Вероятность достать красную карту из колоды (36 карт): P(красная)=18/36=0.5

• Вероятность достать черную карту: P(черная)=18/36=0.5

• Вероятность достать либо красную, либо черную: P(красная+черная)=0.5+0.5=1

8. Полная группа событий

Полная группа событий — это набор всех возможных исходов, которые не пересекаются между собой. Например, для подбрасывания монеты полной группой будет: {орел,решка}.

Если событие A зависит от других событий H1,H2,...,Hn (называемых гипотезами), то его вероятность можно найти по формуле полной вероятности:

где P(A∣Hi) — вероятность A, если гипотеза Hi оказалась верной.

Пример:

• Есть три урны:

  1. Урна 1: 2 белых и 3 черных шара.

  2. Урна 2: 4 белых и 1 черный шар.

  3. Урна 3: 1 белый и 4 черных шара.

• Вероятность достать белый шар, если выбирается случайная урна:

9. Противоположные события

События A и Aˉ (не A) называются противоположными. Если A произошло, то Aˉ не происходит, и наоборот.

Свойство:

P(A)+P(Aˉ)=1

Пример:

• Вероятность дождя завтра P(дождь)=0.3P

• Вероятность, что дождя не будет: P(нет дождя)=1−P(дождь)=1−0.3=0.7

10. Произведение событий

Произведением событий A и B называют событие, при котором происходят оба этих события одновременно.

Формула для независимых событий:

P(A⋅B)=P(A)⋅P(B)

Пример:

• Вероятность выпадения орла при первом и втором броске монеты: P(орел⋅орел)=P(орел)⋅P(орел)=1/2⋅1/2=14

11. Условная вероятность

Условная вероятность события A при условии, что событие B уже произошло, обозначается как P(A∣B). Она показывает, насколько вероятность A изменяется в зависимости от B.

Формула:

P(A∣B)=P(A⋅B)/P(B),P(B)>0

Здесь P(A⋅B) — вероятность того, что оба события A и B происходят одновременно.

Пример:

• Есть колода из 36 карт. Какова вероятность, что вытянутая карта — бубновый туз (A), если известно, что она бубновая (B)?

  • P(B): вероятность бубновой карты =9/36=1/4

  • P(A⋅B): вероятность бубнового туза =1/36

  • Условная вероятность: P(A∣B)=P(A⋅B)P(B)=(1/36)/(1/4)=1/9.

12. Теорема умножения вероятностей

Теорема связывает вероятность совместного появления двух событий A и B:

P(A⋅B)=P(A)⋅P(B∣A).

Для независимых событий (если одно событие не влияет на вероятность другого):

P(A⋅B)=P(A)⋅P(B)

Пример:

• Вероятность того, что на первом броске выпал орел (A) и на втором выпал орел (B): P(A⋅B)=P(A)⋅P(B)=1/2⋅1/2=1/4.