Краткие объяснения от chatgpt
1. Испытания и события
Испытание — это ситуация, где может произойти один из нескольких возможных исходов. Например, бросок кубика — это испытание, так как результатом может быть любое из чисел от 1 до 6.
Событие — это какой-то набор возможных исходов. Например, если мы хотим, чтобы выпало четное число на кубике, то это событие включает числа 2, 4 и 6.
Элементарное событие — это один конкретный исход, например, выпадение числа 4.
Пространство событий — это полный список всех возможных исходов, например, {1, 2, 3, 4, 5, 6} для броска кубика.
Виды событий:
Достоверное событие — оно обязательно произойдет. Например, при броске кубика обязательно выпадет число от 1 до 6.
Невозможное событие — оно не может произойти. Например, выпадение числа 7 на обычном кубике.
Случайное событие — может произойти, а может и нет. Например, выпадение четного числа.
Совместные события – это события, которые могут произойти одновременно в одном и том же опыте (например, выпадение орла и числа больше 2 на двух разных кубиках).
Несовместные события – это события, которые не могут произойти одновременно (например, выпадение орла и решки на одной монете).
Зависимые события – это события, вероятность наступления которых изменяется в зависимости от того, произошло ли другое событие (например, вытаскивание двух карт из колоды без возвращения).
Независимые события – это события, вероятность наступления которых не зависит от того, произошло ли другое событие (например, бросок монеты и бросок кубика).
Равновозможные события – это события, которые имеют одинаковую вероятность наступления (например, выпадение одной из шести граней идеального кубика).
Равносильные события – это события, которые всегда происходят одновременно или не происходят вовсе, то есть эквивалентные по своему исходу (например, "выпадает четное число" и "выпадает одно из чисел 2, 4, 6" при броске кубика).
2. Классическое определение вероятности
Вероятность
события A рассчитывается так:
Свойства вероятности:
Вероятность достоверного события = 1 (например, выпадение числа на кубике ≤ 6).
Вероятность невозможного события = 0 (например, выпадение 10 очков на кубике).
Для случайных событий вероятность будет между 0 и 1.
3. Основные формулы комбинаторики
Часто при расчете вероятностей нужно учитывать разные комбинации. Здесь используются три основных понятия:
Перестановки — это разные способы расположить все элементы. Если у нас nn элементов, то число перестановок равно n!, где n!=n×(n−1)×(n−2)⋯×1
Пример: для 3 элементов (A, B, C) перестановки будут: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
Число перестановок: 3!=3×2×1=63! = 3 * 2 * 1 = 6.
Размещения — это комбинации из k элементов, где порядок важен.
Например, из трех букв (A, B, C) взять 2 с учетом порядка: AB, AC, BA, BC, CA, CB.
Сочетания — это наборы из k элементов, где порядок не важен.
Например, из трех букв (A, B, C) взять 2: AB, AC, BC. Здесь порядок не имеет значения.
4. Относительная частота
Это доля случаев, когда событие произошло, относительно всех испытаний.
Формула:
Пример: Если из 80 деталей 3 оказались бракованными, относительная частота брака: f(брак)=3/80=0.0375
Отличие от вероятности:
Вероятность — это расчет до эксперимента.
Относительная частота — результат после эксперимента.