43. Сложение дисперсий.

Для сгруппированной, т. е. разделенной на i-ое количество групп, статистической совокупности изучение вариации признака по всей совокупности в целом дополняется изучением вариации для каждой из составляющих ее групп, а также  между этими группами.

В простейшем случае, когда совокупность разбита на группы по одному фактору, изучение вариации достигается посредством исчисления и анализа трех видов дисперсий: общей, межгрупповой (случайной)  и внутригрупповой (факторной).

Эти показатели взаимосвязаны друг с другом. Эта взаимосвязь называется правилом сложения дисперсий.

Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно всегда по двум известным дисперсиям определить третью – неизвестную.

44. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной.

Пусть из генеральной совокупности объёмом n извлечена выборка. Требуется по данным выборке оценить неизвестную генеральную дисперсию D_г.

Выборочная дисперсия является смещённой оценкой генеральной дисперсии. Отличие математического ожидания выборочной дисперсии от оцениваемой генеральной дисперсии определяется следующим соотношением:

.

(6.16)

Выборочная дисперсия может быть исправлена. Исправленная выборочная дисперсия равна:

.

(6.17)

Исправленная выборочная дисперсия (6.17) является несмещённой оценкой генеральной дисперсии. Таким образом, получена оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной дисперсии.

45. Точность оценки, доверительная вероятность. Доверительный интервал.

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Все оценки, рассмотренные выше,- точечные. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т. е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок (смысл этих понятий выясняется ниже).

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика Θ* служит оценкой неизвестного параметра Θ. Будем считать Θ постоянным числом (Θ может быть и случайной величиной). Ясно, что Θ* тем точнее определяет параметр Θ, чем меньше абсолютная величина разности |Θ - Θ*|. Другими словами, если δ>0 и |Θ - Θ*|<δ, то чем меньше δ, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число δ характеризует точность оценки.

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка Θ * удовлетворяет неравенству |Θ - Θ*|<δ; можно лишь говорить о вероятности γ, с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки Θ по Θ* называют вероятность γ, с которой осуществляется неравенство |Θ - Θ*|<δ. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве γ берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Пусть вероятность того, что |Θ - Θ*|<δ, равна γ:

Р[|Θ - Θ*|<δ]= γ.

Заменив неравенство |Θ - Θ*|<δ равносильным ему двойным неравенством -δ <Θ - Θ*< δ, или Θ*- δ <Θ< Θ* + δ, имеем

Р[Θ* - δ <Θ< Θ* + δ] = γ.

Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал(Θ*-δ, Θ*+δ) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр Θ, равна γ.

Доверительным называют интервал (Θ*-δ, Θ*+δ), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью γ.

Замечание. Интервал (Θ*-δ, Θ*+δ) имеет случайные концы (их называют доверительными границами). Действительно, в разных выборках получаются различные значения Θ*. Следовательно, от выборки к выборке будут изменяться и концы доверительного интервала, т. е. доверительные границы сами являются случайными величинами - функциями от х₁, x₂, ..., х_n.

Так как случайной величиной является не оцениваемый параметр Θ, а доверительный интервал, то более правильно говорить не о вероятности попадания Θ в доверительный интервал, а о вероятности того, что доверительный интервал покроет Θ.

Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ю. Нейман, исходя из идей английского статистика Р. Фишера.