41. Статистические оценки параметров распределения. Формулы для вычисления дисперсии.

статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Для того, чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определённым требованиям.

Пусть   - статистическая оценка неизвестного параметра   теоретического распределения. Допустим, что по выборке объёма найдена оценка   . повторим опыт, т.е. извлечём из генеральной совокупности другую выборку того же объёма и по её данным найдём оценку   . Продолжая так и далее получим числа , , … ,   , которые, вообще говоря, различны между собой. Таким образом, оценку можно рассматривать как случайную величину, числа   , , … , - как её возможные значения. Пусть оценка даёт приближённое значение с избытком; тогда каждое найденное по данным выборок число     больше истинного значения . Ясно, что в этом случае и математическое ожидание случайной величины больше, чем , т.е.   . Таким образом, использование статистической оценки, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, привело бы к систематическим ошибкам. По этой причине естественно потребовать, чтобы математическое ожидание оценки было равно оцениваемому параметру. Хотя соблюдение этого требования не устранит ошибок, однако ошибки разных знаков будут встречаться одинаково часто. Иными словами, соблюдение требований   гарантирует от получения систематических ошибок.

Несмещённой называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объёме выборки, т.е. .

Смещённой называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Однако было бы ошибочным считать, что несмещённая оценка всегда даёт хорошее приближение оцениваемого параметра. Возможные значения могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, т.е. дисперсия   может быть значительной. Если же потребовать, чтобы дисперсия была малой, то возможность допустить большую ошибку будет исключена. По этой причине к статистической оценке предъявляется требование эффективности.

Эффективной называют статистическую оценку, которая при заданном объёме выборки имеет наименьшую возможную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объёма к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при   стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещённой оценки при стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака   .

42. Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсии.

Общая дисперсия σ² измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, выхвавших эту вариацию. Она может быть вычислена как: 1. простая дисперсия   2. взвешенная дисперсия

Межгрупповая дисперсия (факторная)  δ² характеризует вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых (частных) средних  от общей средней:

Внутригрупповая дисперсия (частная, остаточная, случайная)    отражает случайную вариацию неучтенных факторов (не лежащих в основе группировки) и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по следующей формуле: