33. Статистическое распределение выборки.

34. Эмпирическая функция распределения.

Выборочной (эмпирической) функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < x. Таким образом,

 , (15.1)

где п_х – число вариант, меньших х, п – объем выборки.

Замечание. В отличие от эмпирической функции распределения, найденной опытным путем, функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. F(x) определяет вероятность события X < x, а F*(x) – его относительную частоту. При достаточно больших п, как следует из теоремы Бернулли, F*(x) стремится по вероятности к F(x).

Из определения эмпирической функции распределения видно, что ее свойства совпадают со свойствами F(x), а именно:

1. 0 ≤ F*(x) ≤ 1.

2. F*(x) – неубывающая функция.

3. Если х₁ – наименьшая варианта, то F*(x) = 0 при х≤ х₁; если х_к – наибольшая варианта, то F*(x) = 1 при х > х_к .

35. Полигон и гистограмма.

Для непрерывного признака графической иллюстрацией служит гистограмма, то есть ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высотами – отрезки длиной n_i /h (гистограмма частот) или w_i /h (гистограмма относительных частот). В первом случае площадь гистограммы равна объему выборки, во втором – единице   Рис.2.

 полигон частот: ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (x₁, n₁), (x₂, n₂),…, (x_k, n_k), где x_i откладываются на оси абсцисс, а n_i – на оси ординат. Если на оси ординат откладывать не абсолютные (n_i), а относительные (w_i) частоты, то получим полигон относительных частот (рис.1).

 рис.1

36. Генеральная средняя. Выборочная средняя.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака X.

Генеральной средней   называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Если все значения x₁, х₂, ..., х_n признака генеральной совокупности объема N различны, то

= (x₁ + х₂+ ... + x_N)/N.

Если же значения признака х₁, х₂, ..., x_k имеют соответственно частоты N₁, N₂, ..., N_k причем N₁+N₂+...+N_k=N, то

= (x₁N₁ + х₂N₂+ ... + x_kN_k)/N.

т.е. генеральная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам.

Замечание. Если рассматривать обследуемый признак X генеральной совокупности как случайную величину, то математическое ожидание признака равно генеральной средней этого признака и наоборот:

Выборочная средняя

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X извлечена выборка объема п.

Выборочной средней   называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения x₁, х₂, ..., х_n признака выборки объема n различны, то

= (x₁ + х₂+ ... + x_n)/n.

Если же значения признака х₁, х₂, ..., x_k имеют соответственно частоты n₁, n₂, ..., n_k причем n₁+n₂+...+n_k=n, то

= (x₁n₁ + х₂n₂+ ... + x_kn_k)/n

или

т. е. выборочная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам.

Замечание. Выборочная средняя, найденная по данным одной выборки, есть, очевидно, определенное число. Если же извлекать другие выборки того же объема из той же генеральной совокупности, то выборочная средняя будет изменяться от выборки к выборке. Таким образом, выборочную среднюю можно рассматривать как случайную величину и говорить о числовых характеристиках ее распределения (его называют выборочным), в частности о математическом ожидании и дисперсии выборочного распределения.