МАТЕМАТИКА ЭКЗАМЕН
.pdf
где 
.
1.Теорема. Математическое ожидание постоянной величины 
равно этой
величине..
2.Теорема. Математическое ожидание суммы двух (или нескольких) случайных величин 
и
равно разности их математических ожиданий:
3.Теорема. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин 
и
равно произведению их математических ожиданий:
12. Дисперсия случайной величины и её свойства. Среднеквадратичное отклонение.
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата
отклонения случайной величины от ее математического ожидания
.
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю
.
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат
.
Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий
.
Свойство 4. Дисперсия суммы независимых случайных величин 
равна сумме их дисперсий
. ●
Свойство 5. Дисперсия разности двух случайных независимых величин равна сумме дисперсий этих величин
.
Свойство 6. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата этой величины минус квадрат ее математического ожидания
.
Средним квадратичным отклонением случайной величины называется корень
квадратный из дисперсии
.
13. Биномиальный закон распределения, математическое ожидание и дисперсия.
14. Закон распределения Пуассона, математическое ожидание и дисперсия.
15. Равномерный закон распределения, плотность вероятности, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия.
16. Показательный закон распределения, плотность вероятности, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия.
17. Нормальный закон распределения, плотность вероятности, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия.
18. Системы случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин и её свойства.
Функцией распределения системы двух случайных величин (X, Y) называется
функция двух аргументов F(X, Y), равная вероятности совместного выполнения двух неравенств: X<x, Y<y, где x и y – действительные числа:
.
19. Двумерная дискретная и непрерывная случайная величина (матрица распределения, двумерная плотность вероятности).
Двумерная случайная величина (x 1, x 2) называется дискретной, если x 1 и x 2
являются дискретными случайными величинами.
Случайная величина называется непрерывной, если множество ее возможных
значений представляет собой некоторый конечный или бесконечный промежуток числовой оси.
Двухмерная случайная величина
(X,Y) является непрерывной, если ее функция
распределения F(х,у) представляе т собой непрерывную, дифференцируемою функцию по каждому из аргументов и существует вторая смешанная
производная 
.
Двухмерная плотность распределения f(х,у) характеризует плотность вероятности в окрестности точки с координатами (х,у)
20.Числовые характеристики системы случайных величин (ковариация и коэффициент корреляции).
втеории двумерных случайных величин играет корреляционный момент
(ковариация) 
, характеризующий линейную связь между составляющими системы:
Для дискретных систем случайных величин
.
Для непрерывных систем случайных величин
=
Наряду с корреляционным моментом используется безразмерная характеристика
корреляционной связи - коэффициент корреляции
Для любых систем случайных величин 
Случайные величины Х и Y называются некоррелированными, если 
Независимые величины всегда некоррелированы.
21. Предельные теоремы теории вероятностей (теоремы Чебышева, Бернулли и Ляпунова).
22. Предмет и основные понятия математической статистики (генеральная совокупность и выборка значений случайной величины, выборочный метод).
Предметом математической статистики является изучение методов сбора, обработки,
анализа и интерпретации данных с помощью математических и статистических методов. Она дает инструментарий для выработки решений на основе имеющейся информации.
Генеральная совокупность – это совокупность всех возможных значений случайной
величины в исследуемой области.
Например, если исследуется рост студентов университета, то генеральной совокупностью будет являться рост всех студентов этого университета.
Выборка – это часть генеральной совокупности, которая выбирается для изучения и анализа. Выборка может быть случайной или назначенной. Случайная выборка получается
случайным образом и представляет собой репрезентативный срез генеральной совокупности.
Назначенная выборка составляется исходя из определенных критериев, таких как пол, возраст, профессия и т.д.
Выборочный метод – это метод получения информации о генеральной совокупности на основе анализа выборки. Выборочные методы могут быть различными, от простых статистических показателей, таких как среднее значение и медиана, до более сложных моделей и вероятностных распределений.
23. Общие требования к статистическим оценкам (несмещённость, эффективность и состоятельность). Оценивание функции распределения.
1.Несмещенность: Оценка называется несмещенной, если её математическое ожидание
равно истинному значению оцениваемой величины.
2.Эффективность: Оценка является эффективной, если является наиболее точной из всех
доступных оценок.
3. Состоятельность: Оценка является состоятельной, если с увеличением объёма выборки её вероятность отклонения от истинного значения стремится к нулю.
Оценивание функции распределения: Оценка функции распределения является одним из основных методов анализа статистических данных. Существуют различные методы оценки функции распределения, такие как оценка методом наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия и многие другие. Важным свойством оценок функции распределения является их состоятельность, которая гарантирует, что при увеличении объёма выборки точность оценки будет улучшаться. Кроме того, при оценке функции распределения необходимо учитывать особенности выбранного распределения и его параметров.
24. Оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины.
Оценкой математического ожидания является среднее арифметическое
значений: 
.
25. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Общая схема построения доверительного интервала. Доверительные интервалы для параметров нормального закона распределения.