матем все лекции

Для произвольной числовой последовательности {xn } , необязательно ограниченной (в том числе сверху или снизу) верхний предел равносильным образом можно ввести по правилу

Наконец, отметим без доказательства, что справедлива такая

Теорема 4. Числовая последовательность имеет (конечный или бесконечный) предел когда она имеет равные между собой верхний и нижний пределы.

§ 11. Фундаментальные последовательности. Критерий сходимости Коши.

Определение 1. Числовая последовательность {xn } называется

фундаментальной, если для любого найдется такой номер N N , что для всех

Замечание 1. Без ущерба для общности в определении 1 можно считать, что m n , т.е. что m n p , где p . Следовательно этому определению можно придать такую форму:

Теорема 2 (Критерий схлдимости Коши). Для того чтобы последовательность xn была

сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Идея д о к а з а т е л ь с т в а. Необходимость вытекает из оценки

xn xm xn x xm x ,

где x – предел последовательности xn .

В свою очередь достаточность вытекает из оценки

xn x xn xnk xnk x ,

где {xnk } – некоторая сходящаяся подпоследовательность последовательности xn (такая подпоследовательность существует в силу теоремы 1 и теоремы Больцано-Вейерштрасса), а x – предел этой подпоследовательности □

xn X V a

Следовательно для любых n,m N xn , xm V a X и поэтому в силу (2)

| f (xn ) f (xm ) | .

Поскольку 0 было выбрано произвольно, то это и означает, что последовательность

Покажем теперь, что для любой последовательности, удовлетворяющей условию

(3) предел

lim f (xn )

n

один и тот же. В силу определения предела функции по Гейне (т.е. на языке последовательностей) это и будет означать, что существует предел (1).

Очевидно, она сходится к точке a , при этом все ее точки принадлежат множеству X и отличны от точки a . Тогда по доказанному выше последовательность

сходится и, следовательно, любые две ее подпоследовательности имеют один и тот же предел. Поэтому b b □

( lim ( f (x) kx b) 0 ).

x

Теорема. Для того, чтобы прямая y kx b была наклонной асимптотой

Д о к а з а т е л ь с т в о. (Необходимость) Пусть, например, y kx b - наклонная асимптота графика функции f при x . Тогда из равенств

f(x) kx ( f (x) kx b) b

всилу (1) следует (2). Необходимость доказана.

Докажем достаточность. Действительно, если имеют равенства (2), то из второго из них следует (1), т.е. y kx b - наклонная асимптота графика функции f при

x □

то прямая x 1 является вертикальной асимптотой графика рассматриваемой функции

(вместе с тем нетрудно видеть также, что

А в силу того, что

заключаем прямая y kx b x 1- наклонная асимптота графика как при x так и при x .

полицейских, для любой последовательности вещественных чисел {xn } , такой, что

По определению предела в смысле Гейне это и означает, что справедливо равенство (2).

§15. Понятие непрерывной функции. Теоремы о непрерывных функциях, вытекающие из теорем о пределе функции

Определение непрерывности ф-ии можно сформулировать многими равносильными способами. Начнем с определения на языке " "

Определение 1. Функция f : X R , X R , называется непрерывной в точке a X , если

Замечания.

А) В определении непрерывности в отличие от определения предела не требуется, чтобы точка a была точкой сгущения множества X , но требуется, чтобы она принадлежала этому множеству

Б) Из определения 1 следует, что в любой изолированной точке своей области определения всякая функция является непрерывной. Действительно, в этом случае найдется такое ( ) 0 , что неравенству (2) будет удовлетворять только точка x a , в которой неравенство (1) заведомо выполнено.

В) Если же точка a X является точкой сгущения множества X , то неравенство (2) можно заменить

Г) На геометрическом языке определение 1 можно переформулировать следующим образом: