матем все лекции
.pdf
при этом ясно, что
S1 S2 S3 .
Поэтому
sin x x tg x |
x (0, 2) |
и, следовательно,
sin x cos x 1.
x
Таким образом, если будет доказано, что
cos x 1,
x 0
то будет доказано и (1).
Используя левое из неравенств (2) получим
0 1 cos x 2 sin2 |
x |
|
x2 |
, |
|
|
|||
2 |
2 |
|
||
а так как
x2 0 ,
2 x 0
(2)
(3)
(4)
то из этих неравенств в силу принципа двух милиционеров получим (3). а
следовательно и (1).
Как следствие (1) и (3) имеем
lim tg x 1,
x 0 x
В свою очередь из (1) и (4) следует что
lim 1 cos x 1 x 0 (x2 
2)
Таким образом,
tg x ~ x |
, а |
(1 cos x) ~ |
x 2 |
при x 0 . |
|
||||
|
|
2 |
|
|
(5)
(6)
ЛЕКЦИЯ 1.9
§ 9. Предел и монотонность.
no1. Теорема о пределе монотонной ф-ии и ее следствия
Пусть f : X R , X R .
О п р е д е л е н и е 1. Функция f называется
А) возрастающей (или, иначе, строго возрастающей) если
x1 , x2 X |
x1 x2 |
f (x1 ) f (x2 ); |
Б) возрастающей в широком смысле (или,иначе, неубывающей), если
x1 , x2 X |
x1 x2 |
f (x1 ) f (x2 ); |
В) убывающей (или, иначе, строго убывающей), если
x1 , x2 X |
x1 x2 |
f (x1 ) f (x2 ); |
Г) убывающей в широклом смысле (или, иначе невозрастающей ), если
x1 , x2 X |
x1 x2 |
f (x1 ) f (x2 ); |
О п р е д е л е н и е 2 . Функция f называется монотонной если она либо возрастающая
в строгом или в широком смысле, либо убывающая в строгом или в широком смысле. Соответственно она называется строго монотонной, если она либо строго возрастающая, либо строго убывающая.
Замечания 1) Строго монотонная функция, для которой область значений совпадает с областью определения, очевидно имеют обратную.
2) Строгая монотонность достаточна для существования обратной но это условие не является
необходимым (например ф-я 1 |
на мн-ве R \ {0} не является строго монотонной, но имеет |
x |
|
обратную. |
|
Нетрудно убедиться что справедливо следующее утверждение, однако на его доказательстве мы останавливаться не будем.
Предложение 1. Функция обратная к строго монотонной, строго монотонна в том же
Примечания
Ниже (теорема2) формулируется теорема о пределе монотонной последовательности (В.4) См. также ниже в этих примечаниях определения монотонных последовательностей
В частном случае, если функция f
представляет собой последовательность определению 1 можно придать такую форму: Последовательность { f n } называется
возрастающей, если n |
fn fn 1 ; |
|
неубывающей, если |
n |
fn fn 1 ; |
убывающей, если |
n fn |
fn 1 ; |
невозрастающей, если n |
fn fn 1 . |
|
Определение 2 для последовательностей, по сути, не меняется (лишь слово ф-я меняется на слово последоавателоьность
смысле
При изучении пределов монотонных ф-ий следует рассмотреть такие четиыре случая
А) ф-я f : X R определена левее точки a sup X и возрастает (в широком смысле);
.
.
.
Рис.1
Б) она определена левее точки a sup X и убывает (в широком смысле);
В) она определена правее точки
Г) она определена правее точки
.
.
.
Рис.2
a inf X и возрастает (в широком смысле);
.
.
.
Рис.3
a inf X и убывает (в широком смысле
.
.
.
Рис.4 |
(напомним ограниченность сверху ф-ии |
|
f : X R означает, что множество ее
значений ограничено сверху),
Сформулируем теорему о пределе монотонной функции в первом случае в остальных предлагается это сделать самостоятельно.
|
|
|
( пределе монотонной ф-ии). Пусть функция f : X R не убывает, |
X R и |
|
|
Теорема 1 |
|
|||
|
|
||||
a sup X ( a |
R |
\ X ). Тогда |
|
||
|
|
|
|
lim f (x) sup f ( X ) . |
|
|
|
|
|
x a |
|
При этом, если f ограничена сверху то в точке a она имеет конечный предел, в |
|
||||
противном случае lim f (x) |
|
||||
|
|
|
|
x a |
|
|
Аналогичное утверждение справедливо и для невозрастающей ф-ии. |
|
|||
Теорема 2 ( о пределе монотонной последовательности) . Неубывающая (соотв.,
невозрастающая) и ограниченная сверху (соотв., снизу) последовательность имеет конечный предекл, а неубывающая (соотв., невозрастающая) и неограниченная сверху (соотв., снизу) последовательность имеет предел, равный ( ).
|
Пример. |
(на применение теоремы 2.) Рассмотрим последовательность y |
|
|
cn |
, |
c 0 и |
|
n |
n! |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
плокажем, что она является б.м. ……. |
|
|
|
|
|
||
Теорема 3 (о монотонной функции на промежутке). Пусть ф-я f не убывает (не возрастает) на промежутке a,b и x0 (a,b) . Тогда в этой точке существуют оба односторонних предела и
f (x0 0) f (x0 ) f (x0 0)
(соотв., f (x0 0) f (x0 ) |
f (x0 0) ) |
no2. Лемма о вложенных отрезках
Лемма (о вложенных отрезках) Для любой последовательности вложенных отрезков
{[a ,b ]} |
, |
|
|
n n n 1 |
an ,bn |
an 1,bn 1 , n |
|
|
|||
|
( an an 1 bn 1 bn , n ), |
||
их пересечение непусто, |
|
|
|
|
|
an , bn |
|
|
|
|
|
n 1
Более того, если длины этих отрезков стремятся к нулю n bn an 0 , то это пересечение состоит из одной точки
Лемма о вложенных отрезках имеет следующую аналитическую формулировку
|
|
|
Теорема 4 |
(о встречных последовательностях) |
|
|
|
Если последовательность {an } не убывает, а последовательность {bn } не |
|||
возрастает и an bn |
n , то обе они имеют конечный предел. Кроме того, если |
||||
n |
bn |
an 0 , то эти пределы равны. |
|||
ЛЕКЦИЯ 1.10
§ 9. Предел и монотонность (продолжение)
no1. Число e.
Лемма 1. n и 1 справедливо неравенство
1 n 1 n
(неравенство Я. Бернулли)
Д о к а з а т е л ь с т в о проводится по индукции.
Лемма 2. Существует конечный предел
lim |
1 |
1 |
n |
|
|
||
|
|
|
|
n |
n |
||
Примечания
Здесь лемма 2 относится к (В.4)
(1)
(2)
Этот предел обозначают буквой e и называют числом e. Можно доказать, что число e
иррациональное. В настоящее время оно вычислено с большей степени точности в частности, e = 2. 718281828459045…
§10. Подпоследовательности и частичные пределы.
no1. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Определение 1. |
Пусть {x |
} |
– произвольная числовая последовательность, |
|
|
n n 1 |
|
|
|
n1 n2 ... nk ... |
|
– возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность
|
|
|
{y |
} |
|
, y |
k |
x |
, |
k , |
|
|
|
|
|
|
|
k |
k 1 |
|
|
nk |
|
|
|
||
называется подпоследовательностью последовательности {x |
} |
(и обычно |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n 1 |
|
обозначается {x |
nk |
} |
или, короче, |
{x |
nk |
}). |
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема 1 (о пределе подпоследовательности сходящейся последовательности).
Всякая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится и имеет тот же предел, что и сама последовательность.
Теорема 2 (Больцано-Вейерштрасса). Всякая ограниченная последовательность
содержит сходящуюся подпоследовательность.
Идея д о к а з а т е л ь с т в а состоит в том, что 1) методом деления отрезка пополам строится последовательность вложенных отрезков {[an , bn ]} , каждый из которых содержит бесконечное число
членов ограниченной последовательности {xn }, при этом в качестве начального
отрезка [a0 , b0 ] выбирается любой отрезок, содержащий все члены заданной ограниченной последовательности; 2) затем в каждом из отрезков [ak , bk ] выбирается по точке
xnk из последовательности {xn } так, что nk 1 |
nk . |
Последовательность {xnk } и будет искомой |
Примечания
Обратите внимание на то, что подпоследовательность последовательности {xn } является суперпозицией этой последовательности и возрастающей последовательности натуральных чисел {nk }.
п°2. Верхний и нижний пределы последовательности.
Определение 2. Предел любой сходящейся подпоследовательности последовательности {xn }называется частичным пределом этой последовательности.
Лемма 1. Множество A всех частичных пределов ограниченной последовательности {xn } непусто и ограничено.
Замечание 1. Если последовательность{xn }неограничена, то множество ее частичных
пределов может быть пустым. Например это имеет место для последовательности {( 1)n n} .
Непустота мн-ва А из теоремы Больцано-Вейерштрасса, а
ограниченность из ограниченности последовательности
устанавливается с пименением теоремы о предельном переходе в неравенстве
Теорема 3. Множество A всех частичных пределов ограниченной последовательности {xn }содержит как наибольший, так и наименьший элемент.
Определение 3. Наибольший (соотв, наименьший) из частичных пределов
ограниченной последовательности {xn } называется верхним (соотв., нижним) ее пределом.
Верхний и нижний пределы обозначаются , соответственно, символами
|
|
|
|
lim xn (или lim sup xn ) и |
lim xn (или |
lim inf xn ). |
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
Если последовательность {xn }неограниченна сверху, то по определению полагают,
что
lim xn ,
n
а если она неограниченна снизу, то по определению полагают, что
lim xn
n
Идея док-ва т.3 (относительно наибольшего элемента): Легко убедиться, что в любой ε – окрестности точки x sup A содержится бесконечно много членов последовательности {xn } . Тогда выбрав в каждой 1k - окрестности S1 (x) точки x
k
элемент xnk этой последовательности такой, что nk 1 nk .
Очевидно построим подпоследовательность (п/п) {xnk } , сходящуюся к точке x x (sup A) A и значит x -
наибольший элемент мн-ва A.