матем все лекции

§4. Расширение понятия предела: бесконечные пределы и пределы в бесконечности

n01. Окрестности в R . Формулировка определения предела на языке

окрестностей и его переформулировка на языке неравенств

Пусть функция f определена на множестве X R . Ранее в §1 мы ввели понятие предела

lim f (x) b

x a

для случая когда обе точки a и b являются конечными. Здесь мы расширим это понятие для случая, когда одна или обе эти точки являются бесконечными. С учетом прежнего определения предела функции на языке окрестностей для этого нужно лишь ввести понятие окрестностей точек

и . Однако мы несколько упростим и определение окрестности конечной точки в R (в такой форме его можно было бы ввести и ранее для случая когда точки a и b являются конечными.

Определения.

1. Окрестностью точки a R в R называется всякий промежуток U R , который содержит некоторую -окрестность S (a) (a , a ) этой точки.

2.Окрестностью точки в R называется любой промежуток вида (M , ] , где

M R .

3.Окрестностью точки в R называется любой промежуток вида [ , M ) , где

M R .

Определения проколотой окрестности точки a R и точки сгущения оставим по сути без изменений

4. Пусть a R и V –окрестность этой точки (в R ). Тогда множество

V V \ {a}

называется проколотой окрестностью точки a .

5. Точка a R называется точкой сгущения множества X R (в R ) если для любой

окрестности V этой точки X V .

n03. Неопределенности при вычислении пределов

Говорят, что задача о вычислении предела суммы (соотв., произведения или

частного) двух функций, имеющих пределы в точке a R представляет собой

неопределенность, если знание только самих этих пределов недостаточно для того, чтобы судить о пределе их суммы (соотв., произведения или частного).

Ясно, что при вычислении предела суммы двух функций неопаределенность возникает лишь в том случае когда одна из них стремится к , а вторая – к . В этом случае говорят, что имеет место неопределенность типа .

В свою очередь, неопределенность при вычислении предела произведения двух функций возникает лишь в том случае когда одна из них стремится к или – к , а другая является б.м. В этом случае говорят, что имеет место неопределенность типа 0 .

Далее, неопределенность при вычислении предела частного двух функций возникает лишь в двух случаях, когда обе они – б.б. функции или когда обе они – б.м.

функции. В первом случае говорят, что имеет место неопределенность типа , а во

втором, что имеет место неопределенность типа 00 ,

Замечание. В силу теоремы о связи между б.б. и б.м. неопределенности

О некоторых других типах неопределенностей мы поговорим позже.

§5. Предел суперпозиции функций.

n01. Понятие супекрпозиции функций.

Если даны некоторые отображения f : X Y и g : Y Z , то можно определить новое отображение h : X Z по следующему правилу:

суперпозицию g f часто называют сложной функцией.

Замечание. Суперпозицию отображений по тому же, что и выше правилу, очевидно можно определить и в том случае, когда f : X Y , а g : W Z , где Y W или хотя бы f ( X ) W .

Здесь, однако, для простоты мы ограничимся пока первоначальным предположением, что f : X Y , а g : Y Z .

Пусть теперь даны три отображения

f : X Y , g : Y Z и h : Z W

Тогда можно определить следующие два новых отображения:

h (g f ) : X W и (h g) f : X W

Утверждение 1. h (g f ) (h g) f .

Замечание1. Равенство (4) с учетом определения суперпозиции функций можно записать так:

Таким образом, теорема 1 указывает условия, при выполнении которых под знаком предела справа в этом равенстве можно сделать замену переменной по правилу y f (x) , при этом зная этот предел мы знаем и предел, стоящий слева в этом равенстве.

Замечание 2. Если Y R – область значений функции f и либо b , либо эта функция

является строго монотонной, то условие (3) теоремы 1 заведомо выполняется. В остальных случаях именно проверка условия (3) является "камнем преткновения" для использования этой теоремы. (На лекции приводится определение строго монотонной ф-ии и нек. др. связанных с ним понятий)