матем все лекции

f(S (a) X ) S ( A)

Аэто определение, очевидно, равносильно следующему определению

Оп р е д е л е н и е 5 (определение предела на языке ).

Пусть a – точка сгущения мн-ва X и A R .

Тогда A lim f (x) 0 0 :

x a

| f (x) A |

x X , 0 | x a |

Теорема 1 (о единственности предела). Пусть f : X R и a R –

При этом отображение f , в свою очередь, называется продолжением отображения g на мн-во X.

Опр.5 – одна из наиболее распространенных форм определения предела функции

ЛЕКЦИЯ 1.4

§2. Основные свойства предела функции.

n01. Локальные свойства функций, имеющих предел.

Определение 1. Пусть функция f определена на множестве X R и G – некоторое его подмножество ( G X ). Говорят, что функция f ограничена (соотв., ограничена сверху или снизу) на множестве G , если его образ f (G) есть ограниченное

(соотв., ограниченное сверху или снизу) множество.

В частности, в данном определении может быть G X . В этом случае говорят просто, что функция f : X R ограничена.

Теорема 1 (о локальной ограниченности ф-ии, имеющей предел). Пусть функция f

определена на множестве X R и a R - точка сгущения этого множества. Тогда

если существует предел lim f (x) , то существует такая окрестность V точки a , что

x a

функция f ограничена на множестве V X

При выполнении условия этой теоремы, допуская вольность речи говорят также,

что функция f ограничена в некоторой окр-ти V точки a .

Ниже знак числа A обозначается через sign A , при этом формально считается, что

Примечания

Здесь материалы к Вопросам 5, 6, 8 и 9

В частности теорема о сохранении знака функции (ее иначе называют теоремой о стабилизации знака функции (В.5)), теоремы о предельном переходе в неравенствах (В.6), теорема о связи

функции имеющей конечный предел с б.м. функцией (В.8).

бесконечно малые функции в точке и теоремы о б.м.функциях (В.9)

К понятию ограниченной функции на множестве: f – ограничена на множестве G С 0 :

| f (x) | C x G ;

а в силу определения огр. сверху (снизу) числ-го мн-ва

Замечание по поводу доказательства Т.1

Для док-ва Т.1 достаточно рассмотреть окрестность

U A ( A 1, A 1) точки A lim f (x) и воспользоваться

x a

определением предела.

Пусть функции f и g определены на множестве X R и a R - точка

сгущения множества X . Тогда если

Док-во легко проводится от противногоот противного

самостоятельно

Т.3 и следующая Т.4 носят название теорем о предельном переходе в неравенствах, при этом Т.4 в вопросах именуется теоремой о сжатой переменной, однако чаще ее называю теоремой о двойном неравенстве или, также принципом двух милиционеров (полицейских)

Теорема 4 (о двойном неравенстве или принцип двух полицейских).

Пусть функции f , g и h определены на множестве X R и a R - точка

b) lim g(x) A f (x) g(x) A б.м. при x a

x a

В силу последнего замечания б) если функция

g имеет в точке a конечный предел A, то ее можно представить в виде g(x) = f(x) +A , где f(x) – б.м. функция

Предложение 1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций при x a является бесконечно малой при x a .

Предложение 2. Произведение бесконечно малой (при x a ) ф-ии на функцию ограниченную в некоторой окрестности предельной точки ( a ) есть б.м. функция (при x a ).

при x стремящемся к a. Это и есть теорема о связи функции имеющей конечный предел с б.м. функцией из вопроса 8.

Предложения 1 и 2 носят также название теорем о б.м. (В.9)

ЛЕКЦИЯ 1.5

Продолжение §2. Основные свойства предела функции.

n05. Арифметические свойства предела функции

Лемма 1 (о пределе модуля)

Лемма 2 (о локальной ограниченности 1f )

a R .

Здесь имеются материалы к вопросам

1,2, 8:

В частности, теорема 5 об арифметических свойствах предела функции (В.8), Односторонние пределы и теорема 1 из §3 о существовании предела функции в точке (В.2), Предел

вбесконечно удаленной точке (точнее

вдвух беск. уд. точках) (В.1)

Док-во леммы 1 из нер-ва (см. св-ва модуля)

0 || f (x) | A || | f (x) A |

x X обл. опр. ф ии f .

и принципа двух полицейских.

Для док-ва Л.2 дост. рассм. окр.

по Л .1

(|A| 2 , 3|A| 2 ) точки | A | lim | f (x) | и восп.

x a

определеним предела.

Теорема 5 (об арифметических свойствах предела функции).

Пусть функции f и g определены на множестве X R и a R - точка сгущения этого

множества. Тогда если существуют пределы

При выполнении условий теоремы 5

–утверждение б) б’) называют теоремой о пределе суммы и разности;

–утверждение в) в’) называют теоремой о пределе произведения;

–утверждение г) г’) называют теоремой о пределе частного

Утверждение а) а’) о том, что постоянную можно выносить за знак предела являются частным случаем теоремы о пределе произведения при условии, что g(x) c const x X .