матем все лекции

no2 . Точные грани числовых множеств.

Далее всякое подмножество мн-ва в.ч. ( X R ) называется числовым множеством.

Следующее свойство множества в. ч. R мы примем в качестве аксиомы.

Аксиома непрерывности. Для любых непустых подмножеств A и B

числовой прямой R , обладающих тем свойством, что

a b a A b B ,

существует, по крайней мере, одно такое число c R , которое разделяет эти

множества, т.е.

a c b a A b B .

при этом число m называется нижней гранью множества E .

в) ограниченым, если оно ограничено сверху и снизу.

Лемма 1. E (E R) – ограничено C 0 : | x | C x E .

Док-во леммы – самостоятельная раюота

О п р е д е л е н и е 2. Наименьшая из верхних граней множества E R

называется точной верхней гранью (мли супремумом) этого множества, а наибольшая из его нижних граней называется точной нижней гранью (или инфимумом) этого множества.

Точная верхняя грань множества E R обозначается символом

sup E ,

а точная нижняя грань множества E R обозначается

inf E ,

( sup - от латинского supremum, а inf - от латинского infimum)

Замечание 1. С учетом определений 1 и 2 определение точной верхней грани

можно сформулировать так (второе определение точной верхней грани):

Число С R называется точной верхней гранью множества E R , если

Аналогично определение точной нижней грани можно сформулировать

Свойства точных граней

(доказать самостоятельно)

Пусть E и F - непустые подмножества числовой прямой, R . Положим

E {x R | u E x u},

E F {x R | u E, v F x u v},

E ( 1)E .

Упражнения. 1. Покажите на примерах, что

E E 2E ,

E E 0E .

2. Докажите, что если 0 , то

sup E sup E , inf E inf E .

3.Докажите, что

sup(E F) sup E sup F , inf(E F) inf E inf F .

4. Докажите, что

А) множество E - ограничено сверху множество ( E) - ограничено снизу,

при этом

sup E inf( E) ;

Б) множество E - ограничено снизу множество ( E) - ограничено сверху,

при этом

inf E sup( E) .

ЛЕКЦИЯ 1.2

Глава 1. Предел и непрерывность функции (одной переменной)

n01. Основные понятия. Пусть X и Y – (произвольные,

необязательно числовые) множества. Их элементы далее часто называются точками, а иногда для них используют и другие термины, отражающие их специфику, связанную с понятием отображения.

Правило f , по которому каждому элементу x X ставится в соответствие определенный, и при том единственный (!), элемент y Y

называется отображением множества X во множество Y . Множество X

при этом называется областью определения отображения f , а множество Y –

областью значений этого отображения.

Тот элемент y Y , который отображением f сопоставляется данному элементу x X называется образом точки x при отображении f и в этом случае пишут y f (x) . В свою очередь, всякую точку x X , образом которой является точка y Y ( y f (x) ) называют прообразом точки y при отображении f .

Образ y f (x) точки x X называют также значением отображения f в этой точке, а x X – аргументом отображения f . Кроме того, в старой

определения и область значений данного отображения).

Графиком отображения (1) называется множество

f {(x, f (x)) | x X}

Ясно, что f X Y , Поскольку, очевидно, имеет место равенство

f {(x, y) X Y | y f (x)}

то ясно, что f X Y .

Если Y R , т.е. если область значений отображения (1) является числовым множеством, то это отображение называется ф у н к ц и е й, а если, к тому же, и область его определения X – числовое множество, т.е. если Y R и X R , то отображение (1) будем называть числовой функцией или также

функцией одной вещественной переменной. Заметим, что наше определение функции не является общепринятым: часто понятия функции и отображения используются как синонимы.

Замечание 1. По определению отображения f : X Y образом любой точки x X является единственная точка y Y , которая обозначается через y f (x) . Вместе с тем один и тот же элемент (точка) y Y может иметь несколько прообразов x X при отображении f : X Y . Так, например, для числовой функции

Образ f ( X ) области определения отображения f : X Y будем называть

множеством значений этого отображения.

Прообразом множества B Y (или полным его прообразом) при отображении f : X Y называют множество

f 1 (B) {x X | f (x) B}.

Если множество B состоит из одной точки y Y , то множество f 1({y}) состоит из всех прообразов этой точки. Далее это множество будем обозначать короче f 1( y) , опуская фигурные скобки. Таким образом,

f 1( y) {x X | f (x) y}

Замечание 2. Ясно, что f ( X ) Y , но при этом не исключено, что

f ( X ) Y , т.е. понятия множества значений и области значений отображения f : X Y , вообще говоря, разные понятия.

В связи с последним замечанием отметим также, что отображения

f : X Y и g :U V называют равными друг другу (и пишут f g ), если

они имеют одну и ту же область определения т.е. X U и f (x) g(x) x X .

Таким образом, если f : X Y – некоторая функция, т.е. если здесь

Y R , то можно расширить ее область значений до Y R , при этом мы будем иметь дело с той же самой функцией. Иными словами всякую функцию можно рассматривать как отображение f : X R .

Заметим, наконец, что если f g (здесь f : X Y , а g :U V ), то кроме того, что X U имеет место и равенство f ( X ) g(U ) . Однако, если X U и f ( X ) g(U ) , то неисключено, что f g (Например, это имеет место для функций f (x) sin x и g(x) cos x : у них одна и та же область

определения X U R и одно и то же множество значений, но это разные функции!).

Всюду далее в этом семестре мы будем иметь дело с числовыми функциями, т.е . с функциями одной вещественной переменной.

n02.Обратное отображение (обратная функция).

О п р е д е л е н и е 1. Отображение f : X Y называется

а) сюръективным или отображением “на”, если f ( X ) Y ; b) инъективным или взаимно однозначным отображением «в»,

в) биективным, или биекцией или взаимно однозначным отображением «на» или также взаимно однозначным соответствием,

если оно одновременно инъективно и сюръективно.

Пусть f : X Y – биективное отображение. В силу его сюръективности каждый элемент y Y имеет по крайней мере один прообраз, т.е. f 1 ( y) y Y , а в силу его инъективности каждое из множеств f 1 ( y) , y Y , состоит в точности из одного элемента x X , с которым ниже будем отождествлять множество f 1 ( y) . С учетом этого соглашения можно определить новое отображение g : Y X , полагая,

что

g( y) f 1 ( y) y Y

Так определенное отображение g называется обратным к отображению f и обозначается f 1 , т.е. g f 1 .

Таким образом, если f : X Y – биективное отображение, то

y Y и x X

( f 1 ( y) x) ( f (x) y)

Непосредственно из данного выше определения обратного отображения следует, что

а) обратное отображение биективно; б) имеют место равенства

в) обратным к отображению f 1 : Y X является отображение f : X Y , т.е.

( f 1 ) 1 f

и, следовательно, отображения f и f 1 являются взаимно обратными.

О п р е д е л е н и е 3. Точка a X называется изолированной точкой множества X R , если она не является его точкой сгущения, т.е. если существует такая окрестность Va этой точки, что

Va X

Замечание 2. Точки сгущения множества X R могут принадлежать

этому множеству, а могут и не принадлежать ему. Например, каждая точка интервала (a, b) является его точкой сгущения; кроме того, его концы, т.е.

непринадлежащие ему точки a и b также являются его точками сгущения. Вместе с тем, множество может не иметь ни одной точки сгущения. Например, множество всех натуральных чисел не имеет ни одной точки сгущения; любое конечное множество также не имеет ни одной точки сгущения.

О п р е д е л е н и е 4 (определение предела на языке окрестностей).

Пусть a – точка сгущения мн-ва X . Число A R называется

A lim f (x)

x a

или

f (x) A

x a

как разновидность последней записи используют также запись f (x) A при x a

Замечание 2. Учитывая замечание 1 и то, что всякая окрестность U A точки

A содержит некоторую ее -окрестность S ( A) , а всякая окрестность Va точки a содержит некоторую ее -окрестность S (a) , при этом тот или иной выбор

будем писать “ A lim f (x) …..”

x a