матем все лекции

§2. Понятие об определенном интеграле Римана. Необходимое

условие интегрируемости.

Пусть функция f определена на отрезке [a,b] .

Определение 1. Любой конечный, упорядоченный набор точек x0 , x1 ,..., xn , такой,

что

a x0 x1 ... xn b ,

называется разбиением отрезка [a,b] .

Разбиение отрезка [a,b] будем обозначать далее буквой , при этом будем писать

назовем рангом или диаметром разбиения .

Выберем в каждом из частичных отрезков разбиения произвольно по точке

i [xi 1 , xi ] , i 1, n

и составим сумму

отрезке [a,b] при ( ) 0 , то функция f называется интегрируемой по Риману на этом

отрезке, а сам этот предел называется определенным интегралом Римана функции f на

Для обозначения того, что функция f интегрируема по Риману на отрезке [a,b]

будем писать f R(a,b) .

Замечание. Если f R(a,b) , то с учетом геометрического смысла интегральных сумм, по крайней мере, интуитивно правдоподобно, что для неотрицательной функции f 0 интеграл (3) представляет собой площадь фигуры ограниченной сверху графиком функции f , снизу осью абсцисс, а слева и справа вертикальными прямыми x a и x b . Эту фигуру называют подграфиком функции

f : [a,b] R , а также криволинейной трапецией. Формально обоснование того, что для неотрицательной функции интеграл (3) представляет собой площадь подграфика функции f : [a,b] R , будет дано позже.

Теорема 1. Если функция f интегрируема по Риману на отрезке [a,b] , то она

ограничена на этом отрезке.

Свойство 10. Имеют место следующие равенства:

и

где точная верхняя и точная нижняя грани берутся по всевозможным системам точек

{ i } , i [xi 1 , xi ] , i 1, n , из частичных отрезков разбиения .

Замечание 1. Левое из неравенств (4) показывает, что если , то

S( ) S( ) ,

то есть при измельчении разбиения верхние суммы Дарбу не возрастают. Аналогично правое из неравенств

(5) показывает, что если , то

s( ) s( )

то есть при измельчении разбиения нижние суммы Дарбу не убывают.

Свойство 30. Любая нижняя сумма Дарбу не превосходит любой верхней суммы Дарбу, то есть для любых двух разбиений 1 и 2 отрезка

[a,b] имеет место неравенство

являются конечными (здесь точные грани берутся по всевозможным разбиениям отрезка

[a, b] ).

интегрируемой по Риману на этом отрезке необходимо и достаточно, чтобы для любого

интегрируемой по Риману на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы ее верхний и нижний интегралы Дарбу совпадали друг с другом:

Замечание 1. Если имеет место равенство (8), то из леммы Дарбу и неравенства (1) из пункта 1 настоящего параграфа следует, что

§5. Классы функций, интегрируемых по Риману.

n 1. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций.

Теорема 1. Непрерывная на отрезке [a,b] функция f интегрируема по Риману на

этом отрезке.

Теорема 2. Всякая монотонная на отрезке [a,b] функция интегрируема по Риману

на этом отрезке.

n˚2. Классы разрывных функций, интегрируемых по Риману.

Теорема1. Всякая ограниченная на отрезке [a,b] функция f , которая имеет на нем

конечное число точек разрыва, интегрируема по Риману на этом отрезке.

Определение 1. Функция f называется кусочно-непрерывной на отрезке [a,b] , если она имеет конечное число точек разрыва и каждая из них является точкой разрыва первого

рода.

Замечание 1. Напомним, что в точке разрыва первого рода существуют конечные односторонние пределы.

Упражнение 1. Покажите, что всякая кусочно-непрерывная на отрезке [a,b] функция ограничена на

была интегрируема по Риману на этом отрезке необходимо и достаточно, чтобы множество ее точек разрыва на этом отрезке имело лебегову меру нуль.