матем все лекции

Замечание 3. Очевидно, фунуция f является вогнутой в том и только том случае, когда функция ( f ) является выпуклой. Поэтому далее мы ограничимся изучением только

выпуклых функций, при этом утверждения, устанавливаемые ниже для выпуклых функций, читателю предлагается самостоятельно переформулировать для вогнутых функций.

Лемма 1. Для того, чтобы функция f была выпуклой (строго выпуклой) на промежутке a,b необходимо и достаточно, чтобы для любых x, x1, x2 a, b таких, что x1 x x2 , выполнялось неравенство

Д о к а з а т е л ь с т в о. опускается и на лекции дается его геометрическая мотивация

Теорема 1 (критерий выпуклости функции в терминах первой производной)

Действительно, в силу леммы 1 имеем

f ''(x) 0 x (a,b) .

Если же

f ''(x) 0 x (a,b) ,

то этого достаточно, чтобы функция f была строго выпуклой на интервале (a,b) .

Отметим без доказательства еще один интуитивно ясный, геометрический критерий выпуклости (строгой выпуклости) дифференцируемой функции.

Теорема 2. Дифференцируемая на интервале (a,b) функция является выпуклой на

нем тогда и только тогда, когда ее график всеми своими точками лежит не ниже любой проведенной к нему касательной. В свою очередь для строгой выпуклости дифференцируемой на интервале функции необходимо и достаточно, чтобы все точки ее графика лежали выше любой проведенной к нему касательной за исключением самой точки касания.

В заключение этого параграфа коснемся так называемых точек перегиба графика.

Определение 2. Пусть функция f определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 . Если существует такое 0 , что на интервалах (x0 , x0 ) и

(x0 , x0 ) функция f имеет разные направления выпуклости, т.е. на одном из них она строго выпукла, а на другом, напротив, строго вогнута, то точка M0 M (x0 , f (x0 ))

называется точкой перегиба графика функции f .

Таким образом, можно сказать, что при переходе через точку перегиба

M0 M (x0 , f (x0 )) график дифференцируемой в некоторой окрестности точки x0 функции f как бы переходит с одной стороны касательной в этой точке на другую ее сторону.

Если точка M0 M (x0 , f (x0 )) является точкой перегиба графика дважды дифференцируемой в точке x0 функции f , то в соответствии с теоремой 1 и ее аналогом для

вогнутых функций, производная f имеет разный характер монотонности справа и слева

является необходимым для того, чтобы точка M0 M (x0 , f (x0 )) была точкой перегиба

графика дважды дифференцируемой функции f .

В свою очередь, в силу определения 3 и следствия из теоремы 1 , а также его аналога для вогнутых функций, имеем:

если на некотором интервале (x0 , x0 ) слева от точки x0 вторая производная f (x) имеет один знак, а на интервале (x0 , x0 ) справа от этой точки она имеет другой знак, то этого достаточно для того, чтобы точка M0 M (x0 , f (x0 )) была точкой перегиба.

иметь в виду ниже, когда будут рассматриваться свойства неопределенного интеграла.

Отметим еще, что если F - первообразная функции f , то dF(x) F (x)dx f (x)dx

В связи с этим далее по определению будем считать , что если F - первообразная f , то

f (x)dx F (x)dx dF(x)

§2. Основные свойства неопределенного интеграла.

показывают, что в некотором смысле операции интегрирования и дифференцирования являются обратными друг другу.

30 (Свойство однородности) Если функция f имеет первообразную, то какова бы ни была постоянная c R , функция cf также имеет первообразную, причем всякая первообразная функции cf равна произведению числа c на некоторую первообразную функции f и, наоборот, всякое такое произведение есть некоторая первообразная функции cf и, следовательно

cf (x)dx c f (x)dx

Полезно помнить также , что имеют место и следующие две формулы:

§4. Формула интегрирования по частям и формула замены переменной

в неопределенном интеграле.

Теорема 2. Пусть функции U и V дифференцируемы на промежутке P и существует первообразная функции U V . Тогда существует и первообразная функции

UV , а также имеет место формула

(формула интегрирования по частям).

Замечание 5. Формулу интегрирования по частям часто записывают в виде

U (x)dV (x) U (x)V (x) V (x)dU (x)

или, короче,

UdV UV VdU

Теорема 3. Пусть функция имеет первообразную на промежутке P , а функция f дифференцируема на промежутке P1 и f (P1 ) P . Тогда

где t f (x) . Каждую из этих двух равносильных формул называют формулой замены переменной (по правилу t f (x) ).