матем все лекции

nо4. Разложение некоторых элементарных функцией по формуле Тейлора.

Если x0 0 , то формула Тейлора функции f имеет особенно простой вид:

В этом случае она называется формулой Маклорена. Остаточный член в ней в форме Пеано, Лагранжа и Коши, соответственно, имеет вид

Укажем разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.

10 . Пусть f (x) e x . Эта функция имеет производные любого порядка и в любой точке

x R (в таких случаях говорят, что функция бесконечно дифференцируема на всей числовой оси).

Как известно

(ex )(n) ex

Поэтому формула Маклорена функции e x имеет вид ( e0 1):

e x 1 11! x 21! x2 ... n1! xn Rn (0, x)

где остаточный член можно записать в любой из форм:

где точка в каждой из двух последних формул лежит между точками x и 0 .

20 . Пусть f (x) sin x . Так как эта функция бесконечно дифференцируема на всей

и, следовательно,

При этом остаточный член в форме Пеано имеет вид:

R2n (0, x) o(x2n ) ,

соответственно остаточный член в форме Лагранжа выглядит следующим образом:

а остаточный член в форме Коши имеет вид:

Замечание 1. Для доказательства, например, равенства (2) достаточно заметить, что остаточный член R2n (0, x) в форме Лагранжа в общем случае имеет вид:

30 . Пусть f (x) cos x . Эта функция также бесконечно дифференцируема x R .

Поскольку здесь

f (n) (x) cos(x n 2 ) ,

ЛЕКЦИЯ 1.23

К о м м е н т а р и и . Прежде всего заметим, что (5) следует из (2) и (3). Следовательно нужно доказать лишь (1)-(4).

Левые импликации в (1)-(5) доказываются на основе формулы конечных приращений Лагранжа

f (x2 ) f (x1 ) f ' ( )(x2 x1 ) ,

(x1 , x2 )

справедливой для любых x1, x2 (a, b) , в частности, таких, что x1 x2

Правые импликации в (1)-(4) доказываются на основе того, что для любого x (a, b)

Определение 1. Если дифференцируемая в точке x0 функция удовлетворяет условию (1), то эта точка называется стационарной точкой функции f .

Следующая очевидная – в силу результатов предыдущего параграфа – теорема доставляет

достаточное условие локального экстремума функции, а также достаточные условия отсутствия этого экстремума.

Теорема 2 (достаточное условие локального экстремума в терминах первой производной).

Пусть функция f дифференцируема в некоторой проколотой окрестности S ( x0 ) точки x0 и непрерывна в самой этой точке . Тогда если при “переходе” через точку

x0 “слева на право” производная f ' меняет знак с плюса на минус, то в точке x0 функция f имеет локальный максимум. Если же при таком переходе через точку x0 производная f ' меняет знак с минуса на плюс, то в точке x0 она имеет локальный минимум. Наконец,

если при переходе через точку x0 производная не меняет своего знака, то в этой точке нет локального экстремума.

Для д о к а з а т е л ь с т в а во-первых следует заметить, что в силу условия (2)

то в достаточно малой окрестности V точки x0 знак выражения, стоящего в квадратных скобках в формуле (3), будет неизменным и будет совпадать со знаком производной

f (n) (x0 ) . Поэтому в указанной окрестности правая, а значит и левая часть формулы (3), будет менять свой знак тогда и только тогда, когда меняет свой знак многочлен (x x0 )n , а он очевидно при переходе через точку x0 меняет свой знак, когда n - нечетное и не меняет его, когда n - четное.

Таким образом,

1)если n - четное, то разность f (x) f (x0) не меняет свой знак в окрестности V и, следовательно, функция f имеет в этой точке локальный экстремум;

2)если же n - нечетное, то разность f (x) f (x0 ) меняет свой знак в окрестности V и, следовательно, функция f не имеет в этой точке локального экстремума .

Тип локального экстремума в точке x0 при n - четном определяется знаком