матем все лекции
.pdf
§9.Теоремы о среднем для дифференцируемых функций.
Теорема 1 (теорема Ролля). Пусть функция f непрерывна на отрезке
[a, b] , дифференцируема на интервале (a,b) |
и на концах отрезка [a, b] |
|
|||||||
принимает равные значения : |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f (a) f (b) |
|
|
|
(1) |
||||
|
|
|
|||||||
Тогда существует такая точка (a, b) , что |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
f ( ) 0 . |
|
|
(2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 1. Из геометрических соображений теорема Ролля очевидна: если выполнены условия теоремы , то найдется такая точка (a, b) , что в соответствующей ей точке M M ( , f ( )) графика
функции f касательная к нему параллельна оси абсцисс и, следовательно тангенс угла наклона касательно
вэтой точке равен нулю , что равносильно (2).
До к а з а т е л ь с т в о. По первой теореме Вейерштрасса (о непрерывной на отрезке функции) функция f ограничена на отрезке [a, b] . Следовательно числа
М= sup |
f (x) |
|
|
x [a,b] |
|
и |
|
|
m= |
inf |
f (x) |
|
x [a,b] |
|
конечны. |
|
|
Если m M , то очевидно функция |
f |
является постоянной на отрезке [a, b] . Тогда в |
качестве точки (a, b) , для которой имеет место (2), можно взять любую точку
интервала (a,b) . |
|
Пусть m M . Тогда выполнено по крайней мере одно из неравенств |
|
f (a) f (b) m |
(3) |
и |
|
f (a) f (b) M |
(4) |
Предположим, например, что имеет место последнее из них. По второй теореме Вейерштрасса о непрерывной на отрезке функции [a,b] :
f ( ) M
при этом в силу (4)
a и b ,
т.е. (a, b) . По определению числа M точка (a, b) является точкой глобального
максимума функции f на отрезке [a, b] , а следовательно и точкой локального максимума этой
функции. Поэтому по теореме Ферма в этой тосчке имеет место равенство (2) □
Теорема 2 (Лагранжа). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a,b]
идифференцируема на интервале (a, b) .Тогда найдется такая точка
(a, b) , что
f (b) f (a) f |
|
(5) |
( )(b a) . |
Замечание 2. Терема 2 также имеет простой геометрический смысл. При выполнении ее условий на графике функции f найдется такая точка M M ( , f ( )) , (a, b) , касательная в которой к графику параллельна хорде, стягивающей точки M a M (a, f (a)) и M b M (b, f (b)) .
Д о к а з а т е л ь с т в о получается применением теоремы Ролля к функции
g(x) f (x) f (a) |
f (b) f (a) |
(x a) |
□ |
|
b a |
||||
|
|
|
Замечание 3. Формулу (5) называют формулой конечных приращений Лагранжа. Очевидно, она может быть записана в виде
f (x) f (x0 ) f (x0 |
(x x0 ))(x x0 ) |
(0 1) |
|
(5 ) |
Для этого достаточно положить в (5) b x , a x0 , a выбрать из условия
x0 (x x0 ) ,
т.е. выбрать его исходя из равенства:
x0 .
xx0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нетрудно видеть, что формула (5 ) верна как при |
x x0 , так и при x x0 |
|
□ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Теорема 3 (Коши). Пусть функции |
f и g непрерывны на отрезке |
[a,b] и |
||||||||
дифференцируемы на интервале (a,b) . Тогда (a, b) : |
|
|
|
|
|||||||
|
|
( f (b) f (a))g ( ) (g(b) g(a)) f ( ) |
|
|
(6) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для д о к а з а т е л ь с т в а достаточно применить теорему Ролля к функции h(x) ( f (b) f (a))g(x) (g(b) g(a)) f (x)
□
ЛЕКЦИЯ 1.20
§10. Производные и дифференциалы высших порядков.
Понятие производной порядка n . Пусть функция f определена в некоторой окрестности
V V (x0 ) точки x0 и дифференцируема в этой окрестности. Тогда определена новая функция
f : V R , которая, называется производной функции f |
|
на множестве V . |
|||||||||||
Если эта функция f имеет в точке x0 производную, то ее называют второй производной |
|||||||||||||
или производной второго порядка функции f |
в этой точке и обозначают одним из символов |
||||||||||||
f (x |
|
), |
d 2 f |
|
(x |
|
), y (x |
|
), |
d 2 y |
(x |
|
) |
0 |
dx2 |
0 |
0 |
|
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|||||||
при этом часто аргумент – точку, в которой вычисляется эта производная, опускают. Таким образом.
,
f (x0 ) lim |
f (x) f (x0 ) |
(*) |
x x0 |
|
|
x x0 |
|
|
|
|
при этом, если функция f : V R дифференцируема в точке x0 , то говорят, что функция f дважды дифференцируема в этой точке. Равенство (*) короче записывают так
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(**) |
||
Аналогично понятию второй производной функции f |
в точке x0 вводится понятие третьей |
||||||||||||||||
производной f |
(x |
|
) (ее обозначают также |
f (3) (x |
|
) |
или |
d 3 f |
|
(x |
|
) ) и, вообще производной любого |
|||||
9 |
0 |
dx3 |
|
0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
порядка n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точнее, общее определение производной порядка n вводится индуктивно: если функция |
|
f |
|
||||||||||||||
имеет в каждой точке x V конечную производную |
f (n 1) (x) порядка n 1 , то производная |
|
|
|
|||||||||||||
функции f (n 1) |
: V R в точке x |
0 |
называется производной n -го порядка функции f в точке |
x |
0 |
и |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Примечания
Материал §10 этой лекции содержит ответ на (В.17).
Материал §12 в ее конце содержит ответ на (В.22)
обозначается одним из символов f |
(n) (x |
|
), |
|
d n f |
(x |
|
), y(n) (x |
|
), |
|
d n y |
(x |
|
) . |
|
|
|||||
0 |
|
|
0 |
0 |
|
dxn |
0 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
dxn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Таким образом, по аналогии с (**) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (n) (x |
0 |
) ( f |
(n 1) ) (x |
0 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Наконец, мы будем говорить, что функция |
f |
n раз дифференцируема в точке x0 , если в |
||||||||||||||||||||
некоторой окрестности этой точки она имеет конечную производную f (n 1) |
порядка n 1 (а стало |
|||||||||||||||||||||
быть имеет и все производные f , |
f ,…, |
f (n 1) ) и функция |
f (n 1) |
дифференцируема в точке x |
0 |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В соответствии с данным выше определением производную функции f в точке x0 называют также первой производной функции f в этой точке или, также, производной первого порядка этой функции в точке x0 . В дальнейшем условимся считать, что
f (0) (x) f (x) .
Непосредственно из определения производной n -го порядка вытекают следующие ее свойства:
(cf )(n) (x) cf (n) (x) ( c const ) ( f g)(n) (x) f (n) (x) g (n) (x) ,
где f и g – n раз дифференцируемые в точке x функции.
Механический смысл второй производной. Если s f (t) кинематический закон движения материальной точки вдоль некоторой кривой, т.е. если f (t) – путь, пройденный ей вдоль этой кривой к моменту времени t из некоторой начальной точки, то, как известно, первая производная
, если она существует, представляет собой мгновенную скорость точки в момент времени t .
Вместе с тем отношение |
|
|
|
f |
|
f (t t) f (t) |
|
t |
t |
||
|
называют средним ускорением точки на отрезке времени [t, t t] , а предел (если он существует)
lim f f (t)
t 0 t
называют ускорением точки в момент времени t .
Таким образом, вторая производная |
f (t) – ускорение точки в момент времени t . |
||||||||||||
Понятие дифференциала порядка n . Пусть функция |
|
f n раз дифференцируема в точке x0 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда степенная функция f (n) (x |
0 |
)dxn переменной dx называется дифференциалом функции f в |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точке x |
0 |
порядка n и обозначается d (n) f (x |
0 |
) или |
d n y(x |
0 |
) |
|
(короче также пишут d n f или d n y ). |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, для дифференциала порядка n функции y f (x) в точке x имеем формулу |
|||||||||||||
|
|
|
|
d n y d n |
|
(n) (x)dxn |
, |
(1) |
|||||
|
|
|
|
f f |
|
||||||||
При этом понятия дифференциала и первого дифференциала (дифференциала порядка 1) совпадают друг с другом.
Замечание. На практике вычисление дифференциалов высших порядков можно проводить по правилам, которые описываются ниже (их обоснование можно найти в учебнике Карташова и Рождественского). Предварительно условимся под арифметическим выражением понимать выражение, полученное из конечного набора функций переменной x в результате следующих действий: сложения, умножения и вычисления дифференциала. Тогда вычисление дифференциалов высших порядков можно производить последовательно используя следующую формулу (при n 1, n 2 и т.д.)
атакже правила
1)d (u v) du dv ,
2)d (u v) udv vdu,
3)d (dx) 0 ,
где u и v –арифметические выражения □
Пример 1. Найдем d 2 y для y
d n f d (d n 1 f ) , |
(2) |
ln x x .
Имеем |
|
|
|
|
ln x |
1 ln x |
|
||
dy |
|
dx |
|
dx , |
|
x2 |
|||
|
x |
|
||
|
2 |
1 ln x |
|
|
1 ln x |
1 ln x |
|
x (1 ln x)2x |
|
2 |
|
2 ln x 3 |
|
2 |
|||
d |
|
y d (dy) d |
|
dx |
d |
|
dx |
|
d (dx) |
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
x2 |
x2 |
x2 |
x4 |
|
x3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
□
§ 12. Правило Лопиталя (для раскрытия неопределенностей при вычислении пределов)
При вычислении пределов вида lim |
f (x) |
в случаях, когда функции |
f и g одновременно |
|
g(x) |
||||
x a |
|
|
являются б.м. или б.б. при x a невозможно (напрямую) воспользоваться теоремой о пределе частного. В первом из этих случаев говорят, что имеет место неопределенность типа 00 , а во втором,
– неопределенность . Достаточно универсальный рецепт раскрытия этих неопределенностей,
содержится в приводимых ниже двух теоремах и носит название правила Лопиталя.
Теорема 1. Пусть функции f и g дифференцируемы на конечном или бесконечном интервале
(a,b) , g'(x) 0 на (a,b) и
|
lim f (x) lim g(x) 0 |
(1) |
|||||||||
|
x a |
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
Тогда если существует конечный или бесконечный предел |
|
||||||||||
|
|
lim |
f '(x) |
A |
|
||||||
|
|
|
|
(2) |
|||||||
|
|
|
x a g'(x) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
то существует и равный ему предел lim |
|
f (x) |
, т.е. |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
x a |
|
g(x) |
|
|
|
|||||
|
lim |
f (x) |
lim |
f (x) |
A |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||||
|
x a |
g(x) |
|
x a |
g (x) |
||||||
Замечание 1. Аналогичное утверждение справедливо, если в условиях этой теоремы заменить всюду |
|||||||||||
x a на |
x b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Набросок д о к а з а т е л ь с т в а теоремы 1. Возможны два случая: 1) a - конечно и 2) a . Рассмотрим сначала случай, когда a – конечно.
Доопределив функции f и g в точке a равенствами f (a) g(a) 0
по теореме Коши о среднем значении для любого x (a, b) имеем |
|
[ f (x) f (a)]g'( ) [g(x) g(a)] f '( ) |
(4) |
где (x) , a x . Из условий теоремы следует, что равенство (4) можно переписать в виде
f (x) f (a) |
|
f '( ) |
. |
g(x) g(a) |
|
||
|
g'( ) |
||
Но, так как f (a) g(a) 0 , то это равносильно тому, что
f (x) f ' ( ) . g(x) g' ( )
Поэтому с учетом существования предела (2) и того, что (x) a при x a получим
|
lim |
f (x) |
lim |
f ' ( (x)) |
lim |
f (x) |
A |
||||||
|
|
|
|
|
g (x) |
||||||||
|
x a |
g(x) |
x a |
g' ( (x)) |
x a |
|
|
||||||
т.е. в случае конечного a утверждение теоремы справедливо. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
Рассмотрим второй случай, когда, a . |
Не уменьшая общности можно считать, что |
|||||||||||
b 1. Учитывая это положим x |
1 |
и заметим, что функции |
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t 1 |
|
,0 |
||
|
(t) f ( 1 |
) и (t) g( 1 |
), |
b |
|||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
удовлетворяют всем условиям теоремы в первом рассмотренном нами случае. (Проверьте это!) . Поскольку существует предел (2) и
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
||
|
|
, |
|
|
|
||||||
(t) |
f (x) |
t 2 |
(t) g (x) |
t 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(здесь x 1t ),
то существует и предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) |
|
|
|
|
|
f 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
||||||||||||
lim |
lim |
|
g |
t |
|
|
|
lim |
||||||||||||||||||||
|
|
(t) |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
t 0 |
|
|
|
t 0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x g (x) |
|||||||||||||||
Поэтому, в свою очередь, по доказанному в 1-м случае |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
lim |
(t) |
lim |
|
(t) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
t 0 |
(t) |
|
t 0 |
(t) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
А так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) |
|
|
|
|
|
f 1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
(t) |
lim |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
t 0 |
|
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x g(x) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
то из (5)–(7) вытекает существование предела |
lim |
f (x) |
и равенство |
(3) |
в случае a |
□ |
||||||||||||||||||||||
g(x) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Теорема 2. Пусть функции |
f и g дифференцируемы на конечном или бесконечном |
|||||||||||||||||||||||||||
интервале (a,b) , g'(x) 0 на (a,b) и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
lim |
|
f (x) |
|
lim |
|
g(x) |
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда если существует конечный или бесконечный предел
lim f '(x) x a g'(x)
то существует и равный ему предел
lim f (x) .
x a g(x)
Замечание 2. Аналогичное утверждение справедливо и при замене условия x a на условие x b .
На доказательстве теоремы 2 мы останавливаться не будем
(5)
(6)
(7)