Добавил:

Y-FT-WE Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет)

Предмет:

Математика

Файл:

матем все лекции

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.01.2025

Размер:

9.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1712 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

F (x)	x x0		(3)
		.
	f (x) f (x0 )	.

В силу строгой монотонности функции	f она определена в проколотой окрестности S (x0 )

точки x0 . В точке x0 функция F имеет конечный предел (2). Поэтому если доопределить ее в этой точке равенством

F (x0 )	1	,

	f ' (x0 )

то она будет непрерывной в этой точке. Тогда учитывая, что функция			f 1 непрерывна в точке
y0 f (x0 ) (как обратная к непрерывной, строго монотонной функции			f ), по теореме о

непрерывности суперпозиции заключаем, что сложная функция F( f 1 ( y))							будет непрерывной в
той же точке y0 f (x0 ) и, следовательно,
lim F( f 1 ( y)) F( f 1 ( y		)) F(x		)	1	1	(4)
	0		0
						1
y y0						1
y y0					f ' (x0 )	f ' ( f ( y0 ))
					f ' (x0 )	f ' ( f ( y0 ))

Поскольку в некоторой проколотой окрестности S ( y0 ) точки y0 в силу равенства (3) имеет

место равенство

F ( f 1 ( y)) f 1 ( y) f 1 ( y0 ) , y y0

и предел функции в данной точке не зависит от того, как она определена в этой точке, то из (4)

следует, что функция f 1 дифференцируема в точке y	0	f (x	0	) и имеют место равенства (1)	□
	0		0
§6. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
Пусть на интервале (a,b) заданы функции
x (t)				(1)
и

y (t)

(2)

(t (a,b)) . Предположим, что функция строго монотонна на ((a,b)) . Тогда она имеет

обратную функцию

t 1 (x) ,

которая является строго монотонной на промежутке ((a,b)) . Рассмотрим функцию
f (x) ( 1 (x)) ,	(3)

называемую функцией, заданной параметрически уравнением (1) и (2). При этом, отметим, параметром называют переменную t функций и .

Теорема. Пусть функции x (t) и y (t) определены на интервале (a,b) и дифференцируемы в точке t0 (a,b) , причем функция строго монотонна на (a,b) и (t0 ) 0 . Тогда функция f , заданная параметрически уравнениями (1) и (2), дифференцируема в точке

x0 (t0 ) и

(t0 )

(4)

f (x0 ) (t0 )

Д о к а з а т е л ь с т в о. Дифференцируемость функции f в точке x0 имеет место в силу

теоремы о дифференцируемости обратной функции и теоремы о дифференцируемости сложной функции. Из тех же теорем вытекает и формула (4). Действительно, по теореме о дифференцируемости сложной функции

f (x0 ) ( 1 (x0 ))( 1 ) (x0 ) (t0 ) ( 1 )(x0 ) ,

(5)

а по теореме о дифференцируемости обратной функции

( 1 ) (x		)	1			1		(6)
	0
			( 1 (x		))	(t		)

				0			0
				0			0

Из (5) и (6) имеем (4)

ЛЕКЦИЯ 1.18

§7. Дифференцирование элементарных функций. nо 1. Таблица производных

Элементарные функции (за исключением функций arcsin x и arccos x ) дифференцируемы в своих областях определения, причем справедливы следующие формулы (они обосновываются в следующих пунктах):

10 .

(x )' x 1,

( R)

20 .

(a x )' a x ln a,

(a 0, a 1)

20a .

(e x )' e x

30 .

(loga x)'

, (a 0, a 1)

x ln a

30a .

(ln x)'

40 .

(sin x)' cos x

50 .

(cos x)' sin x

60 .

(tg x)'

cos2 x

70 .

(ctg x)'

sin2 x

80 .

(arcsin x)

, ( 1

x 1)

90 .

(arccos x)'

, ( 1

x 1)

1 x2

Примечания

Непосредственного отношения к экзаменационным вопросам это лекция не имеет, но важна для практических задач (содержит таблицу производных)


100 .	(arctg x)'		1
		x2
	1
110 .	(arcctg x)'		1

			1 x2

Определим так называемые гиперболические функции:


sh x		ex e x		- гиперболический синус;
sh x	2			- гиперболический синус;
	2
ch x		ex e x		- гиперболический косинус;
ch x	2			- гиперболический косинус;
	2
th x	shx			- гиперболический тангенс;
th x	chx			- гиперболический тангенс;
	chx
cth x			chx	- гиперболический котангенс.
cth x			shx	- гиперболический котангенс.
			shx

Для гиперболических функций справедливы следующие формулы:

120	. (sh x)' chx
130	. (ch x)' shx
140	.	(th x)'	1
140	.	(th x)'	ch 2 x
			ch 2 x
150	.	(cth x)'			1
150	.	(cth x)'		sh2 x
				sh2 x

В следующих пунктах приводится вывод формул 10–110. Вывод формул 120–150 предлагается сделать самостоятельно.

nо 2. Показательная и логарифмическая функции.

Здесь будут установлены формулы 20 ,

20a ,

30 и 30a

из предыдущего

пункта. Прежде всего, напомним, что

ln(1 x)

(1)

Далее полезно помнить, что

lim

(1 x) 1

x sin x tan x ln(1 x) e

при

x 0

(2)

lim

x 0

Теперь используя равенство (2) и то, что постоянную можно выносить

за знак предела получим:

e x x e x

x e x 1

e x

)

= lim

lim e

lim

x 0

Таким образом установлена формула 20a .

Далее, так как функция y ln x является обратной к функции x e y , по

формуле для производной обратной функции имеем:

(ln x)' =

(e y )'

e y

Следовательно, установлена и формула 30a .

Для вывода формулы 20

установим формулу дифференцирования

показательно-степенной функции.

y u(x)v( x)

где u и v – дифференцируемые на некотором промежутке P функции, причем u(x) 0 на P .

Во-первых, заметим, что

u(x)v( x) ev( x)lnu( x)

Теперь, используя формулу для производной сложной функции, формулы 20a и 30a , а также формулу для производной произведения функций будем иметь

(u(x)v( x ) ) (ev( x ) ln u( x ) ) ev( x ) ln u( x ) (v(x) ln u(x)) [u( x)v( x ) ](v( x) ln u(x))

u(x)v( x ) [v(x) ln u(x) v( x)(ln u( x)) ] u( x)v( x ) [v ( x) ln u(x) v(x)u ( x) ] u( x)

Таким образом,

(uv ) uv (v ln u vuu ) .

В частности, если здесь v(x) x , а u(x) a const(a 0) , то

(a x )' a x ln a ,

т.е. установлена и формула 20 .

Формула 30

вытекает из формулы 20 в силу формулы

дифференцирования обратной функции:

(loga x)

(a y )

a y

ln a

x ln a

(здесь y log a x , x a y ).

nо 3. Производная степенной функции.

Производную от степенной функции y x ( x 0, R ) можно

вычислить с помощью формулы дифференцирования сложной функции,

предварительно представив функцию y x						в виде y e ln x :
			(x ) (e ln x ) e ln x ( ln x) e ln x				1	x x 1 x 1
			(x ) (e ln x ) e ln x ( ln x) e ln x				x	x x 1 x 1
							x
Формула 10 , таким образом, также доказана.
n	о	4. Тригонометрические функции.
n		4. Тригонометрические функции.
Используя формулу
			sin sin 2 cos sin					,
				2				2
а также известный замечательный предел
			lim	sin x	1 ,
			lim		1 ,
			x 0	x

по определению производной с учетом непрерывности функции cos x будем иметь

(sin x) lim

sin(x x) sin x

lim

2 cos(x 2

) sin

x 0

sin

lim cos(x

x ) lim

cos x

x 0

(

)

Далее, по правилу дифференцирования сложной функции получим

(cos x) (sin( 2 x)) ( 2 x) cos( 2 x) sin x

Производные от функции tgx и ctgx вычисляются с использованием установленных выше формул 40 и 50 и формул дифференцирования частного. Читателю предлагается сделать это самостоятельно.

nо 5. Обратные тригонометрические функции.

Формулы 80 110 выводятся с помощью формулы для производной обратной функции и одной из соответствующих 40 70 .

Например, функция

y arcsin x

( 1 x 1)

Является обратной к функции x sin y ,

(

). Поэтому

(arcsin x)'

( 1 x 1)

(sin y)

cos y

1 sin2

1 x2

Перед радикалом здесь берется знак «+», поскольку

cos y 0 при

Аналогично вычисляется производная от функции y arccos x

Далее, функция y arctg x ( x )

является обратной к функции x tg y

(

y ) . Поэтому

(arctg x)

cos2 y

(tg y)

1 x2

1 tg 2 y

Аналогично вычисляется производная от функции y arcctg x

x0 X

ЛЕКЦИЯ 1.19

§8. Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.


	Определение 1. Пусть функция f			определена на множестве X R и x0	X .
Если существует такая окрестность V точки x0 , что

			f (x) f (x0)	x X V		(1)

		( f (x) f (x0)		x X V )

то точку x0 называют точкой локального минимума (локального максимума) функции f ,

при этом говорят также, что в этой точке функция f имеет локальный минимум (локальный максимум).

Замечание 1. Если внутренняя точка множества X , т.е. если она принадлежит ему вместе с некоторой своей окрестностью то в условии (1) вместо « x X V » можно писать « x V », считая без ущерба для общности , что V X .

Замечание 2.

Если

в точке x0 функция

f имеет или локальный минимум

или локальный

максимум, то говорят, что она имеет в этой точке локальный экстремум, при этом точку x0

называют точкой

локального экстремума.

Определение 2.

Всякая точка x0 X , для которой

f (x) f (x0)

x X

(2)

( f (x) f (x0)

x X )

иногда называется точкой минимума ( максимума) функции f на множестве X , а также

точкой глобального минимума (глобального максимума) функции f на множестве X

Примечания

Материал этого параграфа дает ответы на (В.18), (В.19), (В.20) и (В.21)

Очевидно, что всякая точка глобального экстремума, т.е. глобального максимума или глобального минимума, является также и точкой локального экстремума.

Теорема 1(Ферма). Пусть функция f определена на множестве

X R и дифференцируема в точке x0 X ( x0 – внутренняя точка

множества X ) .Тогда, если x0

– точка локального экстремума этой

функции, то

(3)

(x0 ) 0 .

Набросок д о к а з а т е л ь с т в о.

Для определенности считая, что x0

─ точка

локального минимума, достаточно заметить, что из неравенства

f (x) f (x0 )

x S (x0 ) (x0 , x0 ) ,

справедливого при некотором 0 , вытекают неравенства

f (x) f (x0 )

x (x0 , x0 )

(4)

x x0

f (x) f (x

)

0 x (x0 , x0 ) .

(5)

x x0

Теперь остается воспользоваться определением, равных между собой, левой и правой производных □

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1712 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
20.01.202510.18 Mб2!ЭКЗАМЕН 2 семестр-1.docx
#
14.01.202510.18 Mб1!ЭКЗАМЕН 2 семестр.docx
#
14.01.20259.39 Mб4матем все лекции.pdf
#
14.01.20253.55 Mб1МАТЕМАТИКА ЭКЗАМЕН.pdf