матем все лекции

Добавил:

Y-FT-WE Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет)

Предмет:

Математика

Файл:

df (x0 )g(x0 ) f (x0 ) dg(x0 )

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.01.2025

Размер:

9.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1711 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

	Замечание 1	. Очевидно, равенство (1) можно записать в виде

			f (x0 x) f (x0 ) A x ( x)				(1’)
где x x x0 и

				o( x)	0	,
					0	,
				x	x 0
				x
	(т.е. ( x)	- бесконечно малая при x 0 высшего порядка по сравнению с x )
или, короче, в виде

				y A x ( x)			(1’’)

где y f (x0 x) f (x0 ) - приращение функции в точке x0 , соответствующее приращению аргумента x .

Замечание 2. Поскольку h x x0 x , то вместо (2) также пишут:

df (x0 ) A x

(2’)

Теорема 1. Для того, чтобы функция f была дифференцируемой в

точке x0 , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке

конечную производную f '(x0 ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Необходимость.

Пусть функция f

дифференцируема в точке x0

. Тогда из равенства (1) следует, что

f (x) f (x0 )

(x x0 ) A

x x0

Это означает, что существует конечная производная

f ' (x0 ) lim

f (x) f (x0 )

A .

x x0

Достаточность.

Предположим, что в точке x0 функция f

имеет конечную производную

f '(x0 ) . Тогда из равенства

f ' (x0 ) lim

f (x) f (x0 )

x x0

следует, что

f (x) f (x0 )

f '(x0 ) (x) ,

(3)

x x0

где (x) - бесконечно малая при x x0 функция. Поэтому

f (x) f (x0 ) f '(x0 )(x x0 ) (x)(x x0 )

(4)

и так как

(x)(x x0 ) (x x0 )

(ибо (x)( x x0 )

(x) 0 ),

x x0

то равенство (4) можно записать в виде:

f (x) f (x0 ) f '(x0 )(x x0 ) (x x0 ) ,

(5)

в виде (1), где A f '(x0 ) . Таким образом, функция

f дифференцируема в точке x0

□

q q(t)

Замечание 3. Из доказательства теоремы видно, что дифференциал функции в точке x0 есть следующая линейная функция от приращения аргумента x :

df (x0 ) f '(x0 ) x .	(6)

А поскольку для функции g(x) x имеем g'(x) 1 , то
dg(x) 1· x ,
т.е.
dx x ,
Таким образом, можно сказать, что x - дифференциал dx независимой переменной x и,
следовательно, определению дифференциала df (x0 ) можно придать форму:

df (x0 ) f '(x0 )dx .	(7)

Отсюда, в частности, становится понятным, почему производную f '(x0 ) обозначают

также df (x0 ) . dx

Геометрический смысл дифференциала. Нетрудно убедиться, что значение дифференциала df (x0 ) f '(x0 )dx в точке dx x x x0 равно приращению ординаты касательной к графику функции y f (x) в точке M 0 M 0 x0 , f (x0 ) . Подробнее об этои см.

учебники Фихтенгольца и Кудрявцева.

Физический смысл дифференциала. Если s s(t) – длина пути, проходимого

материальной точкой за время t , то дифференциал ds v t ( v ds / dt – скорость в момент времени t ) – путь, который она бы прошла за промежуток времени t при условии, что она бы двигалась на нем с постоянной скоростью, равной скорости v в момент времени t . Если

– количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t , то дифференциал dq I t ( I dq / dt – сила тока в момент времени t ) – количество электричества, которое протекло бы через это поперечно сечение за время t , точнее от момента времени t до момента времени t t , при условии, что сила тока была бы постоянной и равнялась силе тока в момент времени t .

ЛЕКЦИЯ 1.18

§3. Арифметические операции с дифференцируемыми функциями.

Теорема. Пусть функции f и g определены в окрестности точки x0 и

дифференцируемы в этой точке. Тогда в этой точке дифференцируема и каждая из функций

cf (c const) ,

f g ,

f ·g

(при

g(x0 ) 0 ),

причем

(cf )'(x0 ) cf '(x0 ) ,

(1)

( f g)'(x0 ) f '(x0 ) g'(x0 ) ,

(2)

( f ·g)'(x0 ) f '(x0 )g(x0 ) g'(x0 ) f (x0 ) ,

(3)

f '(x

)g(x

) g'(x

) f (x

)

(4)

(x0 )

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Дифференцируемость функции cf (c const) и

равенство (1) очевидно будут установлены, если будут установлены дифференцируемость функции f ·g и равенство (3). В этом случае достаточно будет рассмотреть функцию g(x) c const .

Примечания

Здесь содержатся полные ответы на

(В.15) и (В.16)

Последний параграф § 6 можно

опустить.

2. Дифференцируемость функции h(x) f (x) g(x) и равенство (2) вытекают из того, что имеют место равенства

f (x0 x) g(x0 x) f (x0 ) g(x0 )

f (x0 x) f (x0 )

g(x0 x) g(x0 )

и из того, что по условию существуют конечные пределы

lim

f '(x0 ) и lim

g g'(x0 ) ,

x 0

при этом следует помнить, что дифференцируемость функции в точке x0 равносильна существованию конечной ее производной в этой точке.

3. Дифференцируемость f ·g и равенство (4). – Доказано на лекции

4. Дифференцируемость

и равенство (4).

Положим h(x)

f (x)

. По крайней

g(x)

мере, в некоторой окрестности точки x0 , это определение корректно, так как

g(x0 ) 0 и функция g непрерывна в точке x0 .

Далее, имеем:

h h(x0

x) h(x0 )

f (x0

f (x0 )

g(x0

g(x0 )

f (x0

x)g(x0 ) f (x0 )g(x0 x)

f (x0 x)g(x0 ) f (x0 )g(x0 ) f (x0 )g(x0 ) f (x0 )g(x0

g(x0 x)g(x0 )

f (x0 x) f (x0 ) g(x0 ) f (x0 ) g(x0 x) g(x0 )		fg (x0 ) f (x0 ) g	,
g(x0 x)g(x0 )		g(x0 x)g(x0 )

и, следовательно,

	f	g( x	) f ( x	)	g
	x	0	0		x	.

g( x0 x)g(x0 )

Рассуждая теперь аналогично пункту 3 данного доказательства, убеждаемся, что функция h gf дифференцируема в точке x0 , а переходя здесь к пределу при x 0

получим также и равенство (4) □

Замечание (о формулах для дифференциалов, вытекающих из формул (1) - (6)). Учитывая, что дифференциал функции h в точке x0 находится по правилу dh(x0 ) h (x0 )dx из формул (1)–(4) , умножая каждую из них на dx , получим следующие формулы для дифференциалов:

d (cf )(x0 ) cdf (x0 ) (здесь c const );

d ( f g)(x0 ) df (x0 ) dg(x0 ) ;

d ( f g)(x0 ) df (x0 ) g(x0 ) f (x0 ) dg(x0 ) ;

§4. Дифференцирование сложной функции.

Теорема. Пусть функция f определена на интервале P (a,b) , а функция g


определена на интервале P1 (c, d) , причем f (P) P1 . Тогда если функция f
дифференцируема в точке x0 P , а функция g дифференцируема в точке y0						f (x0 ) ,
то сложная функция h g f			дифференцируема в точке x0 и
		h (x0 ) g ( y0 ) f (x0 ) g ( f (x0 )) f (x0 )			(1)

	Д о к а з а т е л ь с т в о.		В силу дифференцируемости функций f	и g ,
соответственно, в точках x0 и			y0 , имеем

f (x) f (x0 ) f (x0 )(x

o f		(x x0 )


		x x0

x0 ) o f (x x0 )		(2)
	0
	0
x x
x x

g( y) g( y0 ) g ( y0 )( y

og ( y y0 )

	y y0

y0 ) og ( y y0 )		(3)
	0
	0
y y0
y y0

Как известно

	og ( y y0 ) ( y)( y y0 ) ,	(4)
где ( y)	- бесконечно малая при y y0 , причем без ущерба для общности можно

считать, что ( y0 ) 0 , то есть можно считать, что функция ( y) непрерывна в точке

y0 .

Из (3) и (4) следует, что

g( y) g( y0 ) (g ( y0 ) ( y))( y y0 )

Подставляя сюда y f (x) , y0 f (x0 ) и используя затем равенство (2), получим

h(x) h(x0 ) g( f (x)) g( f (x0 ))

[g ( f (x0 )) ( f (x))]( f (x) f (x0 ))

[g ( f (x0 )) ( f (x))][ f (x0 )(x x0 ) o f (x x0 )]

и, следовательно,

	h(x) h(x	)			o f	(x x0 )	(5)
	0		[g ( f (x0 )) ( f (x))] f (x0 )
	x x0		[g ( f (x0 )) ( f (x))] f (x0 )			x x0
	x x0					x x0
Поскольку функция f				непрерывна в точке x0 , а функция непрерывна в

точке y0 f (x0 ) и ( y0 ) 0 , то по теореме о непрерывности сложной функции

( f (x)) ( f (x0 )) ( y0 ) 0 .

x x0

А так как, кроме того,

	o f ( x x0 )	0
	x x0	0
	x x0	x x0

то из (5) следует, что существует конечная производная

	h (x0 ) lim	h(x) h(x0 )
	h (x0 ) lim	x x0
	x x0	x x0

и имеет место равенство (1). Для завершения доказательства теоремы остается вспомнить, что существование конечной производной h (x0 ) равносильно

дифференцируемости функции h в точке x0

Замечание.	Пусть выполнены условия теоремы. Тогда по определению дифференциала
	dh(x0 ) h (x0 )dx	(6)
	dh(x0 ) h (x0 )dx

И, в силу равенства (1), для сложной функции будем иметь

dh(x0 ) g ( y0 ) f (x0 )dx

или

dh(x0 ) g ( y0 )df (x0 )	(7)

Считая точку x0 произвольной (то есть заменяя x0 на произвольное x ). Равенства (6) и (7) записывают в виде

dh h (x)dx	(6 )
dh g ( y)dy	(7 )

Эти формулы показывают, что формально вид дифференциала не меняется как при записи его через независимую переменную x , так и при записи через зависимую переменную . В этом состоит, так называемое, свойство

инвариантности дифференциала, который называют также первым дифференциалом.

§5. Дифференцирование обратной функции.

Теорема . Пусть функция

f строго монотонна и непрерывна в окрестности S (x0 )

точки x0 . Пусть, кроме того, функция f

дифференцируема в точке x0 и f (x0 ) 0 . Тогда

обратная к ней функция f 1 дифференцируема в точке y

f (x

) , причем

( f 1 ) ( y

)

(1)

)

( f 1 ( y

))

Д о к а з а т е л ь с т в о.

По условию теоремы существует конечный, отличный от нуля

предел

lim

f (x) f (x0 )

(x0 ) 0

x x0

Тогда по теореме о пределе частного существует конечный предел

lim

x x0

(2)

f (x) f (x

)

x x0

Рассмотрим функцию

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1711 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
20.01.202510.18 Mб5!ЭКЗАМЕН 2 семестр-1.docx
#
14.01.202510.18 Mб6!ЭКЗАМЕН 2 семестр.docx
#
14.01.20259.39 Mб14матем все лекции.pdf
#
14.01.20253.55 Mб3МАТЕМАТИКА ЭКЗАМЕН.pdf