матем все лекции

Теорема 2 (о мощности множества точек разрыва монотонной функции). Множество

точек разрыва монотонной на интервале функции не более чем счетно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности пусть f – неубывающая на интервале I функция. Пусть x0 I – некоторая точка разрыва функции f . Тогда одно из неравенств (1) строгое и, следовательно,

f (x0 0) f (x0 0)

Так как между любыми двумя различными вещественными числами лежит хотя бы одно рациональное число, то отсюда следует, что найдется такое рациональное число r r(x0 ) , что

f (x0 0) r f (x0 0) .

Таким образом, каждой точке разрыва может быть поставлено в соответствие некоторое рациональное число.

Если x1 и x2 (x1 x2 ) – две точки разрыва функции f на интервале I , а r1 и r2

– соответствующие им рациональные числа:

f (x1 0) r1 f (x1 0) , f (x2 0) r2 f (x2 0) ,

то в силу того, что для неубывающей функции f по теореме 1

f (x1 0) f (x2 0) ,

будем иметь

r1 r2 ,

т.е. различным точкам разрыва поставлены в соответствие различные рациональные числа. Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек разрыва функции f и некоторым подмножеством множества

рациональных чисел. А поскольку всякое подмножество множества рациональных чисел не более чем счетно, то не более чем счетно и множество точек разрыва функции f □

n02. Непрерывность монотонных функций.

Теорема 3 (критерий непрерывности монотонной функции). Для того, чтобы

монотонная на отрезке [a, b] функция f была непрерывной на нем, необходимо и

достаточно, чтобы множество ее значений было отрезком.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость условия теоремы имеет место в силу

следствия из второй теоремы Вейерштрасса. Поэтому нужно доказать лишь достаточность условия теоремы.

Пусть функция f : [a, b] R – монотонна и f ([a, b]) [m, M ] . Предположим, тем не менее, что она не является непрерывной на отрезке [a, b] . Для определенности будем считать, что функция f – неубывающая.

f (x0 ) f (x) при x x0 .

Поэтому в случае (4) функция f не принимает значений из интервала

( f (x0 0), f (x0 )) ,

но принимает значения как слева от него, так и справа. Аналогично устанавливается, что в случае (5) функция f не принимает значений из интервала

( f (x0 ), f (x0 0)) ,

но принимает значения как слева от него, так и справа. В обоих случаях множество значений функции f не может быть отрезком. Полученное противоречие и доказывает

теорему □

Теорема 4 (об обратной функции к непрерывной, строго монотонной). Пусть

функция f непрерывна и строго монотонна на отрезке [a, b] . Тогда существует

обратная к ней функция f 1 , которая является непрерывной и строго монотонной в

том же смысле, что и функция f .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности пусть функция f возрастает на отрезке [a, b] . В этом случае множество ее значений является отрезком

[ f (a), f (b)] .Тогда, очевидно, она, как отображение

f : [a, b] [ f (a), f (b)])

является взаимно-однозначным отображением «на» и, следовательно, имеет обратную

противоречит тому, что y1 y2 .

Наконец, поскольку множество значений монотонной функции

f 1 : [ f (a), f (b)]) [a, b] является отрезком, то по теореме 3 она непрерывна на отрезке [ f (a), f (b)] □

Очевидно, справедливо следующее обобщение теоремы 4.

Следствие. Пусть функция f непрерывна и строго монотонна на произвольном промежутке P a, b . Тогда обратная к ней функция непрерывна и строго монотонна в том же смысле на промежутке f (P) .

ЛЕКЦИЯ 1.16 ГЛАВА 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

(x) f (x) f (x0 )

xx0

определена на множестве V (x0 ) и x0 – точка сгущения этого множества. Таким образом, корректно следующее

Определение 1. Если существует предел

то он называется производной функции f в точке x0 .

при этом если ясно, в какой точке рассматривается производная, то для ее обозначения

Замечание 1. Если положить x x x0 , y f (x) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 ) , то

теорема о пределе суперпозиции позволяет также определить производную f '(x0 ) с помощью любого из равенств:

Замечание 2. Определение производной выше было дано в предположении, что точка x0

Замечание 3. В определении производной не требуется, чтобы предел (1) был конечным. Если предел (1) равен или , то производная f '(x0 ) называется бесконечной.

Теорема 1. Пусть функция f определена в окрестности точки x0 и

имеет в этой точке конечную производную. Тогда она непрерывна в этой точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что

f ' (x0 )·0 f (x0 ) f (x0 ) □

n°2. Геометрический смысл производной. Производная f '(x0 ) функции f в точке x0 – тангенс угла наклона касательной к графику этой функции в

точке M0 M (x0 , f (x0 )) (подробнее на лекции и в учебниках).

n°3. Физический смысл производной Если функция f ( y f (x) )

описывает закон изменения одной физической величины – y в зависимости от изменения другой физической величины – x , то производная f '(x0 ) часто называется скоростью изменения первой из этих величин относительно второй, причем эта скорость порой имеет специальное название: сила тока, плотность вещества, ускорение (подробнее см. в учебниках).

§2. Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала и его геометрический и физический смысл.

Пусть функция f определена в окрестности точки x0 .

Определение 1. Если существует линейная функция Ah вещественного аргумента

то функция f называется дифференцируемой в точке x0 , а соответствующая линейная функция Ah аргумента h x x0 называется ее дифференциалом в этой точке.

Дифференциал функции f в точке x0 обычно обозначается одним из символов:

df (x0 ) или dy(x0 ) .

В последнем случае имеют в виду, что y f (x) , при этом часто опускают указание о том, в какой точке рассматривается этот дифференциал, т.е. для обозначения дифференциала используют символы df или dy . Таким образом,