матем все лекции
.pdf1-
1, 2, 3 5
1.. .
. .
2.. .
3.. .
4.. . -
. e. 2- « -
» .
5..
.
6.! . .
7." . # .
8., $ .
.
9.% . 1- « » .
10.& . . ' .
11.& . ' ( ( - ). )- ( ( - ).
12.. . *
.
13.+ . & .
14.. + . & -
.
15.. ,
.
16.. % -
.
17.( .
18.,.
19.- .
20.. %.
21.' (.
22.. ( ).
23.# . & /.
24.# . + /.
25.& . +
.
26.. & . + -
.
27.. , ( -
). , 0 e x , sin x , cos x .
28.. 1 .
29.. 0 -
: .
30.+- . ( -
.
31.1 - . - . 1 .
.
32.- . " . .
33.. . " .
34.. , &$ -..
35.- . 0 :
.
|
|
|
+∞ |
dxp ; a , p > 0. |
||
36. |
|
I- . 1 |
∫ |
|||
|
|
|
a |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
dx |
|
|
37. |
|
II- . 1 |
∫ |
p ; a , p > 0 . |
||
|
|
|
a |
(x − a ) |
|
|
38.' . " , (
). + .
39. ) |
. |
40. ) 2 |
2 . |
41., . . , -
.
42.+ . . &
. + .
43.+ . + % .
44.( .
( ).
45., .
46.# . & /-.
47.# . + / ( ).
48.+ , .
49..
50.) .
51.) .
52.% .
53..
54.) .
55.) .
56.) .
57.% .
ЛЕКЦИЯ 1.1
Предисловие.
Курс математического анализа (МА), иначе называемого иногда курсом дифференциального и интегрального исчисления наряду с курсами мат. логики, геометрии и алгебры лежит в основе современного профессионального математического образования. Упомянутое второе название курса МА в основном раскрывает его содержание, которое дополняется некоторыми специальными его разделами. С некоторыми азами курса МА Вы познакомились еще в школе. Теперь нам предстоит существенно расширить представление о его содержании с целью последующего использования в других, более прикладных курсах.
Литература:
Основная
1.Избранные главы анализа и высшей алгебры: Учебное пособие /Фаддеев Д.К. и др./ – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. 200 с.
2.О.Л. Виноградов, А.Л.Громов Курс математического анализа: В 5 частях. Часть 1. – СПб.: Изд-во С.-Петерб. Ун-та, 2009.–229 с.
3.А.П. Карташов, Б.Л. Рождественский Математический анализ. – М.: Лань, 2007. – 448 с.
Дополнительная
4.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В трех томах.– СПб.: Изд-во «Лань», 1997
5.Зорич В. А. Математический анализ. В 2-х частях – М.: МЦНМО, 2002.
Введение (Теоретико-множественные основы)
§1.Множества и действия над ними |
Примечания |
Ту или иную совокупность (семейство или класс) рассматриваемых объектов будем называть множеством, а соответствующие объекты – элементами или точками этого множества.
Подчеркнем, что сказанное выше не является определением множества, а лишь констатирует, что термин множество используется как синоним терминов “совокупность”, “класс”, “семейство” и т.п. Понятие мн-ва в нашем курсе является неопределяемым
Обычно, множества обозначаются большими буквами, а их элементы – малыми, при этом
запись
x A
означает, что элемент x принадлежит множеству A , а запись x A ,
- что он не принадлежит этому множеству.
Если множество состоит из конечного числа элементов, то оно называется конечным, в противном случае оно называется бесконечным.
Для описания конечных множеств достаточно перечислить все их элементы. В частности,
запись
A {а, б, в,..., я}
означает, что множество А состоит из всех элементов от «а» до «я», а запись
B {1,3,5,...,31}
означает, что множество состоит из всех нечетных чисел от 1 до 31.
Аналогично могут описываться и некоторые бесконечные множества. Например,
N {1, 2, 3, ...}
- множество всех натуральных чисел, а
Z {0, 1, 2, ...}
-множество всех целых чисел.
Множество, состоящее из одного элемента a , обозначается {a} , тем самым
подчеркивается различие между этим множеством и единственным его элементом a .
К числу множеств удобно отнести и, так называемое, пустое множество, которое по определению не содержит ни одного элемента и обозначается или Ø.
Описание множеств. Часто множества образуются на основании какого-то общего свойства своих элементов. Пусть P – некоторое свойство и запись P(x) означает, что
элемень x обладает свойством P . Тогда запись
X {x | P(x)}
означает, что множество X состоит из всех элементов, обладающих свойством P , а запись
A {a B | P(a)},
что множество A состоит из всех тех элементов множества B , которые обладают свойством P .
Например,
Q{x | x p q , p Z, q N}
-множество всех рациональных чисел, т.е. множество всех обыкновенных дробей.
Определение 1. Если каждый элемент множества A является также и элементом множества B , то множество A называется подмножеством множества B , при этом пишут A B или B A .
Знак (или ) как и каждую из формул A B и B A называют включением. Если множество A не является подмножеством множества B , то пишут A B .
Очевидно, что для любого множества A имеют место включения A A и Ø A .
Определение 2. Множества A и B называются равными друг другу, если
A B и B A .
В дальнейшем для сокращения записи многих определений, утверждений и их доказательств будет использоваться специальная логическая символика:
ך – знак логического отрицания (читается “не”);
- знак конъюнкции или логического умножения (читается “и”);
- знак дизъюнкции или логического сложения (читается “или”);
- знак импликации или логического следования (читается “влечет”);
- знак эквивалентности (читается “эквивалентно”, “равносильно”,
атакже “необходимо и достаточно”, “тогда и только тогда”, “если и только если” и т.п.)
- квантор существования (читается “существует”, “найдется”);
- квантор всеобщности ( читается “любой” или “для любого”);
Далее иногда будут использоваться и другие специальные знаки, которые будут вводиться
по мере необходимости. Так, например, используемый ниже знак следует читать «равно по определению».
Определение 3. Объединением множеств A и B называется множество
A B {x | (x A) (x B)} .
Определение 4. Пересечением множеств A и B называется множество
A B {x | (x A) (x B)} .
Упражнение 1.1. Докажите справедливость следующих равенств.
А) коммутативность операций
объединения и пересечения:
A B B A
A B B A
б) ассоциативность операций объединения и пересечения:
( A B) C A (B C)
( A B) C A (B C)
в) дистрибутивные свойства операций
и ∩:
A (B C) ( A B) ( A C)
и
A (B C) ( A B) ( A C)
г) формулы де Моргана
( A B) A B , ( A B) A B .
По аналогии с определениями объединения и пересечения двух множеств вводится определение объединения и пересечения любого числа множеств (как конечного так и бесконечного).
Определение 5. Разностью между множеством A и множеством B называется
множество
A\ B {x | (x A) (x B)}.
Втом случае, когда рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного (универсального) множества M удобным является
понятие дополнения.
|
Определение 6. Разность между множеством |
M и содержащемся в нем множеством A |
|
|||
( A M ) называется дополнением множества A (в M или до M ). |
|
|
|
|||
Дополнение множества A в M обозначают c |
A (или просто cA ), а также |
|
, Ac или A . |
|||
A |
||||||
M
Таким образом, cA M \ A.
Определение 7. Прямым (или декартовым) произведением множеств X и Y называется множество всех упорядоченных пар (x, y) таких, что x X , y Y .
Прямое произведение множеств X и Y обозначается X Y . Отметим, что вообще говоря, X Y Y X .
Упражнение 1.2. Покажите, что
i)прямое произведением двух отрезков X [a, b] и Y [c, d ]
можно рассматривать как прямоугольник на плоскости,
ii)прямое произведение круга и отрезка – как цилиндр в пространстве,
iii)прямое произведение двух окружностей – как поверхность «правильной баранки» (такая поверхность называется тором).
iv)X Y Y X .
§2.Множество вещественных чисел
no1. Начальные сведения (известные из школы) Понятие вещественного числа, а также ряд других связанных с ним понятий и некоторых относящихся к ним фактов предполагаются, в основном, известными из школьного курса математики.
Однако напомним, что множество вещественных чисел состоит из всех рациональных чисел и из всех иррациональных чисел. Множество вещественных чисел далее иногда будет называться полем вещественных чисел. Множество всех вещественных чисел обозначается R
Далее считается известным то, как во множестве вещественных чисел вводятся алгебраические операции сложения и умножения, а также обратные к ним операции вычитания и деления, соответственно; считаются известными также свойства этих операций.
Наконец, полагаем известно
а) как во множестве вещественных чисел вводятся отношения : > - «больше», < - «меньше»
( a, b R (a b) (b a) ),- «больше или равно»
- «меньше или равно»;
икаковы свойства этих отношений;
б) что между множеством вещественных чисел и точками той или иной прямой можно установить взаимно-однозначное соответствие и, следовательно, множество вещественных чисел можно отождествить с прямой (поэтому оно часто называется также числовой прямой).
Касаясь а) отметим только следующий факт: между любыми двумя различными вещественными числами лежит по крайней мере одно рациональное число ( x, y R таких, что
x y , r Q |
: x r y ). |
Напомним определения некоторых важных подмножеств числовой прямой
R .
Пусть a, b R , a b . Тогда
[a, b] {x R | a x b} – отрезок или сегмент (при a b оно вырождается в точку);
(a, b) {x R | a x b} – интервалом (при a b оно пустое);
а
[a, b) {x R | a x b}
и
(a, b] {x R | a x b} - полуинтервалы (при a b они пустые).
Каждое из этих четырех типов множеств называется также промежутком (первое из них иногда называется замкнутым интервалом, а второе – открытым интервалом). Аналогично определяются эти множества и когда
.
Далее иногда для нас будет неважно с каким из четырех указанных выше типов промежутков мы имеем дело, но важно, что его концами являются точки
a, b R , a b . В таких случаях будем обозначать этот промежуток так: a, b .
Напомним понятие абсолютной величины (или модуля) | x | вещественного числа x :
x, если x 0
| x | 0, если x 0
x, если x 0
Свойства модуля в.ч.
1о |
| x | > 0 x R, x 0 . |
|
2o | xy | | x || y | x, y R. |
||
3o | x | a a x a |
x R . |
|
3оо | x | a a x a x R |
||
4o |
| x y | | x | | y | |
x, y R . |
5о |
|| x | | y ||| x y | |
x, y R . |
Часто бывает удобно дополнить множество вещественных чисел элементами, обозначаемыми и , называемыми соответственно плюс бесконечностью и минус бесконечностью
Множество вещественных чисел R дополненное элементами и такими, что
x x R
называется расширенным множеством вещественных чисел или расширенной числовой прямой и обозначается R (т.о. R R { , }).