Задание 2

Липецкий государственный технический университет

Кафедра транспортных средств и техносферной безопасности

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Обработка полной статистической информации о ресурсе машин

Выполнил: Руководитель:

Студент группы ТК-18-1

Липецк 2019 г.

Практическая работа № 2

Обработка полной статистической информации о ресурсе машин

Обработка полной информации содержит следующие этапы:

а) построение статистического ряда исходной информации и определение смещения начала рассеивания;

б) определение среднего значения ПН и среднего квадратичного отклонения ;

в) проверка информации на выпадающие точки;

г) построение гистограммы, полигона и кривой накопленных опытных вероятностей;

д) определение коэффициента вариации V;

е) проверка совпадения опытных и теоретических законов распределения ПН по критериям соответствия;

ж) графическое построение интегральной F(t) и дифференциальной f(t) функций ТЗР;

и) определение доверительных границ рассеивания одиночных и средних ПН и наибольшей возможной ошибки переноса;

Статистический ряд составляют при объеме выборки N ≥ 25 для

упрощения дальнейших расчетов (без потерь точности).

Количество интервалов статистического ряда n определяют по условию n = 8…12.

Длину интервала статистического ряда А рассчитывают по формуле

А = (t _max – t _min) / n.

где t _max и t _min – максимальная и минимальная точки информации соответственно (в курсовой работе это информация об износах) мм.

Получаем

А= (119,95-119,50)/9=0,05 мм.

Смещение начала рассеивания t _см определяют по формуле

t _см =t _1н – 0,5А.

где t _1н – начало первого интервала, мм.

Следовательно

t _см =119,5 – 0,5*0,005=119,475 мм.

Значение опытной вероятности в i –м интервале Р_i определяют по формуле

Р_i = m_i / N.

где m_i – опытная частота i – го интервала.

Полученные данные вносят в таблицу 1.

Таблица 1 – Информация об интервалах исходного статистического ряда

В опытной информации о ПН могут быть ошибочные точки, выпадающие из общего закона распределения. Поэтому перед окончательной математической обработкой информацию проверяют на выпадающие точки по критерию Ирвина

.

где – опытное значение критерия Ирвина;

t_i, t_i-1 – смежные точки информации.

Тогда

.

Теоретический коэффициент Ирвина определяют по значениям объема выборки N и доверительной вероятности , используя таблицу П.1 приложения.

Гистограмма и полигон являются дифференциальными, а кривая накопленных опытных вероятностей – интегральным статистическими законами распределения опытных ПН (рисунок 1).

Рисунок 1 – Статистические законы распределения опытных показателей надежности.

Коэффициент вариации V является относительной характеристикой рассеивания ПН и используется при предварительном выборе и оценке ТЗР.

Для ПН, зона рассеивания которых начинается от нуля, коэффициент вариации V определяют по формуле

V = / =0,093348808/ 0,719= 0,129831444.

Если зона рассеивания смещена относительна нуля формула имеет вид

V = / ( - t _см) =0,093348808/(0,719-0,475)= 0,382577082.

При V< 0,3 предварительно выбирают закон нормального распределения (ЗНР), если V > 0,5 – закон распределения Вейбулла (ЗРВ).

Критерий согласия Пирсона ² представляет собой сумму квадратов отклонений опытных и теоретических частот в каждом интервале укрупненного статистического ряда информации.

² = (m_i – m_mi)² / m_mi.

где n _y – число интервалов в укрупненном статистическом ряду; m_i – опытная частота в i – ом интервале укрупненного статистического ряда; m_mi – теоретическая частота в i – ом интервале укрупненного статистического ряда.

Укрупненный статистический ряд составляют исходя из условий:

n_y 4, m_i 5. Допускается объединение тех интервалов в которых m_i<5.

Таблица 2 – Укрупнённый статистический ряд. Критерий согласия Пирсона для ЗНР.

Интегральную функцию ЗНР определяют по равенству

F(t _iк) = F_o .

где F_o – центрированная и нормированная интегральная функция, определяемая по таблице П.2. приложения.

Теоретическая частота находится по формуле

m_mi

Интегральную функцию ЗРВ определяют из таблицы П.3 приложения, по величине параметра ЗРВ – b и отношению (t _iк - t _см) / а, где а – параметр ЗРВ.

Параметры а и b можно приближенно рассчитать по формулам

а = =1, 11(0,7187 – 0,475 ) = 0,27.

b = 1 / V^1,06 =1 / 0,382^1,06 = 2,7.

Таблица 3 – Интегральная функция ЗРВ. Критерий Пирсона для ЗРВ

Определяем вероятность совпадения опытных и теоретических данных Р. Для входа в таблицу необходимо определить число степеней свободы r по формуле

r = n _y – K.

где К – число обязательных связей. Для ЗНР и ЗРВ число обязательных связей К = 3.

Следовательно

r = 5-3 = 2.

Получаем P для ЗНР – 15%. P для ЗРВ – 10 %.

Выбираем ЗНР.

После окончательного выбора ТЗР рассчитывают значения дифференциальной функции в серединах интервалов исходного статистического ряда f(t_ic).

Для ЗНР по известной формуле

f(t_ic) = (A / ) .

где – центрированная дифференциальная функция ЗНР, определяемая по отношению в таблице П.5 приложения.

Результаты расчёта представлены в таблице 4 и график на рисунке 2.

Таблица 4 – Дифференциальной функции в серединах интервалов исходного статистического ряда f(t_ic)

Рисунок 2 – График дифференциальной функции в серединах интервалов исходного статистического ряда f(t_ic)

Рассчитаем значение интегральной функции для ЗНР в серединах интервалов исходного статистического ряда

F(t _iс) = F_o .

где F_o – центрированная и нормированная интегральная функция, определяемая по таблице П.2. приложения.

Результаты расчётов интегральной функции представлен в таблице 5, а график на рисунке 3.

Таблица 5 – Интегральная функция в серединах интервалов исходного статистического ряда F(t_ic)

Рисунок 3 – График интегральной функции в серединах интервалов исходного статистического ряда F(t_ic)

Рисунок 4 - Взаимосвязь между доверительной вероятностью , возможной максимальной ошибкой е , доверительными границами рассеивания одиночного ( и ) и среднего и значений ПН для ЗНР.

Максимальную абсолютную ошибку для одиночного ПН определяют по формуле

е = = .

где - коэффициент Стьюдента, определяемый по значению доверительной вероятности и объему выборки N из таблицы П. 6 приложения.

Получаем

е = = .

Доверительные границы рассеивания при ЗНР рассчитывают соответственно по формулам:

а) для нижней границы

= – е

б) для верхней границы

= + е

Интервал в который при заданной доверительной вероятности попадает 100 % от N показателей надежности, называют доверительным

интервалом I , и его определяют по формуле

I = –

Среднее квадратическое отклонение при этом определяют по формуле

При законе нормального распределения и заданной доверительной вероятности показатели рассеивания среднего значения показателя надежности определяют по следующим формулам:

абсолютную ошибку по формуле

е =

Доверительные границы рассеивания по формулам:

а) для нижней границы рассеивания

= – (е / ) .

б) для верхней границы рассеивания

= + (е / ) .

доверительный интервал по формуле

= -

Относительную предельную ошибку переноса ( в процентах) независимо от ТЗР определяют по формуле

= 100( – ) / ( – )

Вывод: Я построил статистический ряд исходной информации и определил смещение начала рассеивания. Определил среднее значение ПН и средне квадратичное отклонения . Коэффициента вариации V= 0, 38258. Определил вероятность совпадения опытных и теоретических данных Р. Получил для ЗНР – P=15%. Рассчитал значения дифференциальной и интегральной функций в серединах интервалов исходного статистического ряда и построил графики.

Приложение:

Таблица П.1. Теоретические коэффициенты Ирвина

Повторность информации N	 при  = 0,95	 при  = 0,99	Повторность информации N	 при  = 0,95	 при  = 0,99
2	2,8	3,7	30	1,2	1,7
3	2,2	2,9	50	1,1	1,6
10	1,5	2,0	100	1,0	1,5
20	1,3	1,8	400	0,9	1,3

Таблица П.2. Интегральная функция (функция распределения) F₀ закона нормального распределения (ЗНР).

	Сотые доли
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0,0	0,50	50	51	51	52	52	52	53	53	54
0,1	0,54	54	55	55	56	56	56	57	57	58
0,2	0,58	58	59	59	60	60	60	61	61	61
0,3	0,62	62	63	63	63	64	64	64	65	65
0,4	0,66	66	66	67	67	67	68	68	68	69
0,5	0,69	70	70	71	71	71	71	72	72	72
0,6	0,73	73	73	74	74	74	75	75	75	75
0,7	0,76	76	76	77	77	77	78	78	78	79
0,8	0,79	79	79	80	80	80	81	81	81	81
0,9	0,82	82	82	82	83	83	83	83	84	84
1,0	0,84	84	85	85	85	85	86	86	86	86
1,1	0,86	87	87	87	87	88	88	88	88	88
1,2	0,89	89	89	89	89	89	90	90	90	90
1,3	0,90	91	91	91	91	91	91	92	92	92
1,4	0,92	92	92	92	93	93	93	93	93	93
1,5	0,93	93	94	94	94	94	94	94	94	94
1,6	0,95	95	95	95	95	95	95	95	95	96
1,7	0,96	96	96	96	96	96	96	96	96	96
1,8	0,96	97	97	97	97	97	97	97	97	97
1,9	0,97	97	97	97	97	97	98	98	98	98
2,0	0,98	98	98	98	98	98	98	98	98	98
2,1	0,98	98	98	98	98	98	98	99	99	99
2,2	0,99	99	99	99	99	99	99	99	99	99
2,3	0,99	99	99	99	99	99	99	99	99	99
2,4	0,99	99	99	99	99	99	99	99	99	99
2,5	0,99	99	99	99	99	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00

Таблица П.3. Интегральная функция (функция распределения) F(t _iк – t_см)

закона распределения Вейбулла (ЗРВ)

	Параметр b
	0,9	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0	2,1	2,2	2,3	2,4
0,1	0,12	0,10	0,06	0,06	0,06	0,04	0,03	0,03	0,02	0,02	0,01	0,01	0,01	0,01	0,00	0,00
0,2	0,21	0,18	0,16	0,14	0,12	0,10	0,09	0,07	0,06	0,05	0,05	0,04	0,03	0,03	0,02	0,02
0,3	0,29	0,26	0,23	0,21	0,19	0,17	0,15	0,14	0,12	0,11	0,10	0,09	0,06	0,07	0,06	0,06
0,4	0,35	0,33	0,31	0,26	0,26	0,24	0,22	0,21	0,19	0,18	0,16	0,15	0,14	0,12	0,11	0,10
0,5	0,41	0,39	0,37	0,35	0,33	0,32	0,30	0,28	0,27	0,25	0,24	0,22	0,21	0,20	0,18	0,17
0,6	0,47	0,45	0,43	0,42	0,40	0,39	0,37	0,36	0,34	0,33	0,32	0,30	0,29	0,25	0,27	0,25
0,7	0,52	0,50	0,49	0,48	0,47	0,45	0,44	0,43	0,43	0,41	0,40	0,39	0,38	0,37	0,36	0,35
0,8	0,56	0,55	0,54	0,54	0,53	0,52	0,51	0,50	0,50	0,49	0,48	0,47	0,46	0,45	0,45	0,44
0,9	0,60	0,59	0,59	0,59	0,58	0,58	0,57	0,57	0,57	0,56	0,56	0,56	0,55	0,55	0,54	0,54
1,0	0,63	0,63	0,63	0,63	0,63	0,63	0,63	0,63	0,63	0,63	0,63	0,63	0,63	0,63	0,63	0,63
1,1	0,66	0,67	0,67	0,67	0,68	0,68	0,68	0,69	0,69	0,70	0,70	0,70	0,71	0,71	0,71	0,72
1,2	0,69	0,70	0,71	0,71	0,72	0,73	0,73	0,74	0,74	0,75	0,75	0,76	0,77	0,78	0,78	0,79
1,3	0,72	0,73	0,74	0,75	0,76	0,76	0,77	0,78	0,79	0,80	0,81	0,82	0,82	0,83	0,84	0,85
1,4	0,74	0,75	0,77	0,78	0,79	0,80	0,81	0,82	0,83	0,84	0,85	0,86	0,87	0,88	0,89	0,89
1,5	0,76	0,78	0,79	0,80	0,82	0,83	0,84	0,85	0,86	0,87	0,89	0,90	0,90	0,91	0,92	0,93
1,6	0,78	0,80	0,81	0,83	0,84	0,86	0,87	0,88	0,89	0,90	0,91	0,92	0,93	0,94	0,95	0,95
1,7	0,80	0,82	0,83	0,85	0,86	0,88	0,89	0,90	0,92	0,93	0,94	0,94	0,95	0,96	0,97	0,97
1,8	0,82	0,84	0,85	0,87	0,88	0,90	0,91	0,92	0,93	0,94	0,95	0,97	0,97	0,97	0,98	0,98
1,9	0,83	0,85	0,87	0,89	0,90	0,91	0,93	0,94	0,95	0,96	0,97	0,97	0,98	0,98	0,99	0,99
2,0	0,85	0,87	0,88	0,90	0,92	0,93	0,94	0,95	0,96	0,97	0,98	0,98	0,99	0,99	0,99	0,99
2,1	0,86	0,88	0,90	0,91	0,93	0,94	0,95	0,96	0,97	0,98	0,98	0,99	0,99	0,99	1,00	1,00
2,2	0,87	0,89	0,91	0,92	0,94	0,95	0,96	0,97	0,98	0,98	0,99	0,99	0,99	1,00	1,00	1,00
2,3	0,88	0,90	0,92	0,93	0,95	0,96	0,97	0,98	0,99	0,99	0,99	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00
2,4	0,89	0,91	0,93	0,94	0,96	0,97	0,98	0,98	0,99	0,99	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00
2,5	0,90	0,92	0,94	0,95	0,96	0,97	0,98	0,99	0,99	0,99	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00
2,6	0,91	0,93	0,94	0,96	0,97	0,98	0,99	0,99	0,99	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00
2,7	0,91	0,93	0,95	0,96	0,97	0,98	0,99	0,99	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00
2,8	0,92	0,94	0,96	0,97	0,98	0,99	0,99	0,99	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00
2,9	0,93	0,95	0,96	0,97	0,98	0,99	0,99	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00
3,0	0,93	0,95	0,97	0,98	0,99	0,99	0,99	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00
3,5	0,95	0,96	0,98	0,99	0,99	0,99	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00
4,0	0,97	0,98	0,99	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00