ИДЗ №1. Симметрия кристаллов (методические указания)

Методические указания к выполнению ИДЗ №1 «Симметрия кристаллов»

Цели работы: Научиться качественно и количественно определять симметрию кристаллов на моделях, которые соответствуют формам реальных кристаллов минералов, металлов и других кристаллических веществ.

Задачи работы: в работе необходимо определить симметрию виртуальной (с помощью программы VESTA) и деревянной (по видеоролику) трехмерной модели кристаллов в соответствии с вариантом, указанным в графах ДЗ1 и ДЗ2 в ведомости группы.

Основные теоретические положения

Кристаллами называются твердые тела с упорядоченным внутренним строением на уровне атомов и молекул, т.е. тела, обладающие трехмернопериодической пространственной атомной структурой, и имеющие вследствие этого при определенных условиях образования форму многогранников. Сетки кристаллической решетки с наибольшей густотой расположения узлов соответствуют граням реального кристалла, места пересечения сеток - наиболее плотные узловые ряды – ребрам кристаллов, а места пересечения ребер – вершинам кристаллов.

Кристаллический многогранник – это многогранник, в котором равные части (грани, ребра) расположены так, что он совмещается целиком сам с собой при помощи некоторых операций симметрических преобразований.

Симметрическим преобразованием называется такое преобразование, в результате которого все равные части фигуры совмещаются друг с другом и фигура совмещается сама с собой.

Элементы симметрии – это геометрические образы симметрических преобразований. Симметрия кристаллов выявляется с помощью элементов симметрии:

•центра симметрии (инверсии),

•плоскостей симметрии,

• осей симметрии.

Центр симметрии (инверсии) связывает противоположные инверсионно равные (или обращено равные) части кристалла. Он совпадает с геометрическим центром кристалла. От слова Centrum он обозначается буквой С (по символике Бравэ). Определять наличие С у многогранников очень просто по следующему признаку: если каждой грани многогранника соответствует равная и параллельная грань, то такой многогранник имеет центр инверсии. Помещая многогранник на стол последовательно на различные грани и сравнивая верхнюю грань с нижней, легко установить наличие или отсутствие у него центра инверсии.

Осью симметрии называется прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый определённый угол α, фигура совмещается сама с собой. Обозначается в учебной символике – символике О. Браве – Ln.

Наименьший угол поворота α, приводящий фигуру к самосовмещению, называется элементарным углом поворота оси.

Число n, показывающее сколько раз элементарный угол поворота оси содержится в 360°, называется порядком оси. n – целое число.

n = 360°/α n=1,2,3,4,6.

В классических кристаллических многогранниках невозможны оси 5–го и

Вкристаллических многогранниках оси симметрии могут проходить:

-через центры противоположных граней перпендикулярно к ним;

-через середины противоположных ребер перпендикулярно к ним (только L2);

-через противоположные вершины многогранника;

-через вершины и центры граней.

Рисунок – пример многогранников, обладающих осью симметрии 3, 4, и 6-го порядка.

Плоскостью симметрии называется плоскость, которая делит фигуру на две равные части, расположенные друг относительно друга как предмет и его зеркальное отражение. Обозначается в символике О.Браве – P.

Плоскости симметрии в кристалле могут проходить:

-через ребра;

-перпендикулярно ребрам через их середину;

-перпендикулярно граням через их середины;

-через вершины.

Полная совокупность элементов симметрии кристаллического многогранника называется видом симметрий, или точечной группой симметрии.

Все разнообразие симметрии кристаллических многогранников исчерпывается 32 видами симметрии.

Таблицы СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ следует изучить очень внимательно. Это полный вывод 32 видов симметрии, предложенный в 1867 г. русским академиком А.В. Гадолиным.

Вид симметрии – это полная совокупность элементов симметрии какого-либо кристалла. Следует помнить, что в настоящее время известно более 15 тысяч различных кристаллов, а видов симметрии только 32, так что повторение формул неизбежно.

Сингония (равноугольность) – это группа видов симметрии,

объединенная либо одной главной осью симметрии, определяющей форму поперечного сечения кристалла (например, кристаллы с формулами L3, L33P, L33L23PC и т.д. относятся к тригональной (треугольной в сечении) сингонии), либо совокупностью 4L3 характерной для кристаллов кубической сингонии, либо особенностью расположения координатных осей при установке кристалла (моноклинная или триклинная сингонии).

Категория – это группа сингоний с характерным набором осей симметрии:

•Высшая категория характеризуется обязательным наличием в каждом виде симметрии 4L3 в сочетании с осями L4 и L2. Высшая категория включает в себя только одну, кубическую сингонию.

•Средняя категория характеризуется наличием одной оси симметрии высшего порядка в сочетании с прочими элементами симметрии. К средней категории относятся тригональная, тетрагональная и гексагональная сингонии.

•Низшая категория объединяет триклинную, моноклинную и ромбическую сингонии, во всех видах симметрии, которых отсутствуют оси симметрии высшего порядка.

Порядок выполнения работы

1.Получить у преподавателя индивидуальный варианта 2-ух моделей разных кристаллов (запишите номер варианта на протоколе).

2.Привести проекции модели кристалла, причем количество проекций должно бытьдостаточным,чтобы полностьюописатькристалл(неменее3-хпроекций).

3.Чтобы определить симметрию кристалла необходимо найти все возможные операции симметрии.

4.Найдите центр симметрии, если кристалл обладает центром симметрии, то запишите это в протоколе символом C (см. рекомендации по работе в программе VESTA).

5.Найдите все возможные оси симметрии, запишите в протоколе их порядок и их количество (см. рекомендации по работе в программе VESTA). Приведите схематично рисунок с демонстрацией осей симметрии различного порядка, если их несколько или они разного порядка.

6.Найдите все возможные плоскости симметрии запишите в протоколе их количество (см. рекомендации по работе в программе VESTA). Приведите схематично рисунок с демонстрацией плоскостей симметри различного порядка, если их несколько.

Обработка данных

1.Запишите в протоколе кристаллографическую формулу кристалла согласно символике Браве. (Последовательность перечисления элементов симметрии показана в качестве примера: L33L23PC, где индекс - это порядок оси симметрии, цифра перед буквой - найденное количество элементов симметрии).

2.По полученной формуле кристалла с помощью таблицы определите, и запишите, к какому виду сингонии и категории относится данный кристалл. Для каждой модели кристалла по найденной формуле кристалла приведите пример минерала.

3.Сосчитайте количество вершин (В), ребер (Р) и граней (Г). Сосчитайте, чему будет равно В – Р + Г. Сделайте вывод, соответствует ли Ваш случай теореме Эйлера для многогранников.

Литература

1.Практическое руководство по геометрической кристаллографии. Нардов В. В. Учебное пособие. 1974. Изд-во Ленингр. ун-та, с. 3-142.

2.Кристаллография: учебное пособие к практическим занятиям по кристаллографии / Е.М. Нуриева, А.А. Ескин. – Казань: Казан. ун-т,

2017. – 94 с.

3.Симметрия кристаллов металлов и минералов: Лаб. практикум / Сост.: А.А. Пермяков: СибГИУ. - Новокузнецк, 2002. - 12с., табл.2, ил.7.

4.Занимательная кристаллография / Т.А. Еремина, Н.Н. Еремин. – М.:

МЦНМО, 2014. – 149 с.

Форма протокола

Рекомендации по установке и работе в программе VESTA

Для выполнения практического задания по теме «симметрия кристаллов» понадобится программа для визуализации данных VESTA. Данная программа находится в свободном доступе. Программу можно скачать по ссылке https://jp-minerals.org/vesta/en/download.html, в зависимости от установленной на вашем ПК операционной системе и её разрядности (32-битная или 64-битная) выберите и скачайте рабочую версию. Следует отметить, что программа поставляется в виде архива и его необходимо разархивировать в специально созданную папку (после выполнения задания

программу можно удалить), также запустить программу без разархивирования, однако работоспособность программы не гарантируется.

Запуск программы осуществляется двойным щелчком по иконке , которая находится в папке с программой. После запуска

программы откроется следующее окно (рисунок 1):

Рисунок 1 – Интерфейс программы VESTA

Для открытия варианта индивидуального задания в программе VESTA необходимо нажать на кнопку File и в появившемся подменю выбрать пункт Open… после этого найти файл с заданием и открыть его либо просто перетащить мышкой файл с заданием на рабочее поле программы. В результате появится графическое изображение модели кристалла (рисунок 2):

Рисунок 2 – Графическое (3D) представление модели кристалла

в программе VESTA.

Для загруженной модели возможны следующие операции:

-изменение масштаба с помощью колесика мыши.

-поворот вдоль какой либо оси на определенный угол, поворот вдоль оси осуществляется кнопками , а значение угла можно выставить в графе , эти элементы отмечены на рисунке 2 красным цветом.

-поворот объемной фигуры может осуществляться мышью при зажатой левой кнопкой мыши (этот метод применим для ознакомления с фигурой).

Рекомендации по поиску элементов симметрии у моделей кристаллов

Поиск центра симметрии, обозначение C

Фигура обладает центром симметрии если каждой грани объемной модели отвечает параллельная и равная (или инверсионно-равная) ей. Для того чтобы найти в программе VESTA центр симметрии необходимо сделать следующее:

1) Повернуть модель кристалла в пространстве таким образом, чтобы исследуемая грань стала «подсвеченной» (рисунок 3):

Рисунок 3 – Модель кристалла с «подсвеченной» гранью.

2) выставить угол 180 в графе и кнопками произвести поворот вдоль осей X, Y, Z. Результат поворота вдоль осей приведен на рисунке 4:

Рисунок 4 – Результат поворота вдоль осей 1) – X, 2) – Y, 3) – Z.

Из представленного выше можно сделать вывод, что фигура не имеет центра симметрии так как при повороте вдоль осей X, Y, Z форма подсвеченной грани сохраняется только для одного случая (проверять остальные грани не имеет смысла).

Ниже приведен пример для фигуры обладающей центром симметрии.