1.3 Описание сигнала по Чебышеву
Погрешность описания сигнала степенным полиномом может быть уменьшена, если временные координаты выбирать по формуле:
А) 0 порядок:
Б) 1 порядок:
В) 2 порядок:
Г) 3 порядок:
Видно, что точки выбраны верно, так как соблюдается симметрия относительно нуля.
После выбора временных точек можно воспользоваться методикой описания сигнала по Лагранжу.
А) 0 порядок:
Рисунок 7 – График полинома Чебышева 0 порядка
Б) 1 порядок:
Рисунок 8 – График полинома Чебышева 1 порядка
В) 2 порядок:
Рисунок 9 – График полинома Чебышева 2 порядка
Г) 3 порядок:
Рисунок 10 – График полинома Чебышева 3 порядка
Таблица 2 - Координаты узловых точек
Порядок |
t0 |
t1 |
t2 |
t3 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
0.7071 |
-0.7071 |
|
|
2 |
0.8660 |
0 |
-0.8660 |
|
3 |
0.9239 |
0.3827 |
-0.3827 |
-0.9239 |
Порядок |
f0 |
f1 |
f2 |
f3 |
0 |
-1.3277 |
|
|
|
1 |
-0.6722 |
3.095 |
|
|
2 |
-0.1745 |
-1.3277 |
3.3605 |
|
3 |
-0.0376 |
-1.6921 |
1.1385 |
3.301 |
Эмпирическая погрешность вычисляется как для полиномов Лагранжа.
Оценка максимальной погрешности для i-го полинома:
где – модуль-максимум ( )-й производной сигнала на рассматриваемом интервале.
Рисунок 11 – Графики погрешностей полиномов 0 и 1 порядков
Рисунок 12 – Графики погрешностей полиномов 2 и 3 порядков
Из графиков видно, что значения эмпирической погрешности не превышают значения оценки максимальной погрешности, что свидетельствует о правильности вычислений.
1.4 Описание сигнала по Тейлору
Для описания сигнала по Тейлору полиномом n-го порядка необходимо знать в одной точке значения сигнала и его производных до n-го порядка включительно.
В качестве такой точке на
интервале [-1, 1] берется точка
Формула Тейлора:
где
-
i-я производная сигнала.
Производные:
Полиномы Тейлора:
А) 0 порядок:
Рисунок 13 – График полинома Тейлора 0 порядка
Б) 1 порядок:
Рисунок 14 – График полинома Тейлора 1 порядка
В) 2 порядок:
Рисунок 15 – График полинома Тейлора 2 порядка
Г) 3 порядок:
Рисунок 16 – График полинома Тейлора 3 порядка
Эмпирическая погрешность вычисляется как для полиномов Лагранжа.
Оценка максимальной погрешности для i-го полинома:
где – модуль-максимум ( )-й производной сигнала на рассматриваемом интервале.
Рисунок 17 – Графики погрешностей полиномов 0 и 1 порядков
Рисунок 18 – Графики погрешностей полиномов 2 и 3 порядков
Из графиков видно, что значения эмпирической погрешности не превышают значения оценки максимальной погрешности, что свидетельствует о правильности вычислений.