21. Свойство. Дифференцирования.

Если f(t)  F() , то d/dt f(t)  j F().

Доказательство: так как по обратному преобразованию Фурье

то дифференцируя это выражение по t и меняя порядок дифференцирования и интегрирования, получаем:

внесение знака дифференцирования под интеграл возможно, так как интегрирование ведется по переменной  в то время, как дифференцирование осуществляется по переменной t. Что и требовалось доказать.

При n-кратном дифференцировании:

Свойство дифференцирования широко используется для нахождения спектральных плотностей кусочно-линейных сигналов.

22. Свойство свёртки во времени.

Путем свертки двух известных сигналов f1(t), f2(t) можно получить сигнал f(t). Процедура свертки символически обозначается «*». При перестановке индексов 1 и 2 в записи операции свертки результат не меняется, однако меняется промежуточные записи интегралов:

Операция свертки – это интегральная операция:

Во временной области принято использовать переменную t, в интегралах свертки буква t формально заменяется на τ.

Конкретные пределы интегрирования определяются видом сигналов. Считая, что сигналы существуют во времени t >0 и учитывая, что бесконечные пределы интегрирования символически показывают, что свертку необходимо рассматривать на бесконечном сдвиге t, операцию свертки можно записать в следующем виде:

Свойство свертки:

Спектральная плотность свертки двух сигналов рана произведению спектральных плотностей.

Строгое доказательство:

23. Свёртка сигналов с предварительным дифференцированием.

Свертка с δ(t) – самая простая для расчета. Продифференцируем один из прямоугольных импульсов, получим две δ(t) на возрастающем и убывающих фронтах. Получим свертку прямоугольных сигналов.

Продифференцируем прямоугольник f2(t). Свернем сигнал f1(t) с f'2(t).

Свертка f1(t) * f2(t) = f(t) получится путем интегрирования f1(t) * f'2(t) = f' (t) и при 2  2 1 получим трапецию.

Достаточно часто проще найти свертку с производной, особенно если рассматриваются кусочно-линейные функции.

24. Свойство свёртки по частоте.

Если

Доказательство:

25. Свойство интегрирования.

Если

Доказательство: рассмотрим свертку 1(t) и f(t):

Так как при   t: 1(t  )  0, а при   t: 1(t  )  1, то

Пользуясь свойством свертки легко показать, что

следовательно,

26. Спектральная плотность энергии и мощности сигналов.

Спектральная плотность - функция, описывающая распределение энергии (мощности) сигнала в зависимости от частоты, то есть энергия (мощность), приходящаяся на единичный интервал частоты.

Энергия сигнала