11. Ортогональные функции Уолша.

Функции Уолша являются дискретными по уровню, так как они могут принимать только два значения: +1 или −1.

Функции Уолша могут быть получены из функции Радемахера:

где kr – функция Радемахера порядка k (k =1,2,3,...); t – переменная, изменяющаяся в пределах от 0 до 1; sign –знаковая функция, абсолютная величина которой равна 1, а знак определяется знаком синуса.\

Первые три функции Радемахера; пунктиром обозначены функции, sin2^kt .

Функции Радемахера ортогональны, так как для любой пары этих функций будет справедливо выражение

Функции Радемахера являются нечетными относительно середины интервала и, следовательно, они не могут быть использованы для представления сигналов, четных относительно середины интервала. Иными словами, множество ортогональных функций Радемахера не является полным.

Процедура получения из функции Радемахера полного множества называется упорядочением, в результате которого получается полное множество ортогональных функций Уолша.

Функции Уолша можно найти из выражения

где wal n(t) – функция Уолша порядка n; a,b,c,d,... – показатели степени, которые могут принимать только два значения: 0 или 1. Если используем k функций Радемахера, то при двух возможных значениях показателя степени каждого сомножителя, получим 2^k функций Уолша, т. е. n при этом будет принимать значения 0,1,2,3,... (2^k − 1).

В таблице приведены комбинации значений показателей степени для получения функций Уолша с порядковым номером от 0 до 7.

Условие ортогональности функций Уолша такое же, как и для функций Радемахера:

Описание сигнала вычисляется по формуле:

12. Действительный спектр сигналов.

Понятие «спектр» несет в себе информацию о том какая постоянная составляющая и какие гармонические составляющие содержатся в исследуемом сигнале. Поэтому понятие «спектр» можно ввести, видоизменив запись тригонометрического ряда Фурье. Поскольку гармонические колебания cos n0 и 0 sin nω0 дадут в результате суммирования гармоническое колебание той же частоты n0, но другой амплитуды и другой фазы, то описание f*(t) можно выразить следующим образом:

Общепринято записывать результирующее колебание через косинус. Общепринято записывать результирующее колебание через косинус. Амплитуды результирующего колебания всегда записывают как положительное число, но так как она в принципе может быть как отрицательной, так и положительной теоретически, то знак амплитуды учитывается при записи фазы. В общей формуле записи принято фазу писать со знаком «+». Фаза может принимать как положительные, так и отрицательные значения, а в общей формуле записывается со знаком «+». При n = 0 косинуса нет, фаза выражает знак «+» или «-». Постоянная составляющая записывается со своим знаком, будь то минус или плюс. Можно записать общее выражение, внеся a0 под знак суммы:

это тригонометрический ряд Фурье, записанный в таком виде, он носит название действительный спектр сигнала. Он действительный потому, что с формальной точки зрения записывается через реально существующие действительные функции. 0 – основная частота, набор амплитуд А_n – амплитудный спектр сигнала, набор фаз φ_n, который обязательно указывается со своим знаком – фазовый спектр сигнала.