7. Описание сигналов по Чебышеву. Погрешность описания.
Погрешность описания сигнала степенным полиномом может быть уменьшена, если временные координаты выбирать по формуле:
Условием правильного выбора точек является симметрия относительно середины интервала, причем для нечетного числа n один узел будет находиться в середине интервала.
После выбора временных точек можно воспользоваться методикой описания сигнала по Лагранжу:
Чем выше степень полинома описания, тем больше описание приближается к реальному сигналу и тем лучше работает правило расстановки узловых точек по полиному Чебышева.
Эмпирическая погрешность, находится из графиков для i-го полинома:
Оценка сверху погрешности описания сигнала при расстановки узловых точек по Чебышеву:
где – модуль-максимум ( )-й производной сигнала на рассматриваемом интервале
9. Описание сигналов в среднеквадратической метрике. Ортогональные функции.
К сожалению, этот полином не всегда удается отыскать. В этом случае задачу нужно поставить несколько иначе. Раз полином n-го порядка не сможет пройти через все m выбранные точки, то наиболее подходящим будет такой полином, при котором рассеивание исходных точек относительно него будет минимальным. В качестве меры рассеивания обычно принимают среднее значение квадратов отключений этих точек от полинома:
Полином Pn(t) содержит n + 1 неизвестный коэффициент:
Коэффициенты a должны быть подобраны таким образом, чтобы величина ¯2 была минимальна. Это требование соответствует удовлетворению системы уравнений:
что может быть записано как
Решение системы даст значение коэффициентов, а следовательно, и искомого полинома. Действительно, искомый полином n-го порядка должен пройти через все выбранные n + 1 точки, обеспечивая минимальное рассеивание, равное в данном случае нулю.
Если описываемый сигнал задан в непрерывной форме, что соответствует бесконечному множеству точек m, то система примет вид
где t1 и t2 обозначают начало и конец интервала описания сигнала. Полученный в результате решения этой системы полином Pn(t) будет минимизировать рассеивание сигнала относительно полиномиального описания. Иными словами, будет минимизировано среднее значение квадрата погрешности описания.
Изложенный метод широко известен, как метод наименьших квадратов.
Этот метод может быть использован при описании сигналов любыми функциями, не обязательно полиномиальными.
Ортогональная система функций
Система функций φ0(t), φ1(t), …, φn(t),… называется ортогональной на интервале t1, t2, если для любой пары этих функций выполняется условие
а сами функции, входящие в эту систему, называются ортогональными функциями.
Описание сигнала по выражению
где φi(t) – ортогональные функции, называется обобщенным рядом Фурье
Коэффициенты сi, называемые коэффициентами разложения, определяются из системы уравнений
откуда следует, что любой коэффициент сi можно определить по выражению
Известно, что определенные таким образом коэффициенты обеспечат описание сигнала обобщенным рядом Фурье при минимальной величине среднего значения квадрата погрешности описания.
10. Погрешность описания сигналов ортогональными функциями.
Среднее значение квадрата погрешности описания на t1, t2 определяется выражением
Учитывая
окончательно получаем
Проанализируем это выражение. Квадрат погрешности, а, следовательно, и его среднее значение, – величина неотрицательная. Значит, выражение в квадратных скобках больше или, в крайнем случае, равно нулю. Первый член в этих скобках – интеграл от квадрата сигнала – величина положительная. Под знаком суммы каждый член вида ci2ki тоже величина положительная. Следовательно, увеличение количества ортогональных функций в описании сигнала повлечет за собой монотонное увеличение суммы в квадратных скобках, что будет монотонно уменьшать погрешность описания, устремляя ее в пределе к нулю. Множество ортогональных функций, обращающих погрешность описания в нуль, называется полным множеством. Известные системы ортогональных функций образуют полные множества при бесконечно большом количестве ортогональных функций (n ). Для них справедливо равенство Парсеваля:
