Вопрос 21.
постоянная матрица, т.е.
Будем искать решение это системы в виде
Подставим в (1) получим : Поскольку , то . Если нас интересует нетривиальные решения, то должно быть нетривиальное решение ОСЛАУ (2) квадр ОСЛАУ (2) имеет нетривиальные решения
Опр. Уравнение называется характеристическим уравнением.
Известно, что в поле оно имеет n корней с учетом их кратности.
Замеч. Фактически являются соответственно СЗ и комп СВ ЛО, имеющего в некотором базисе матрицу А.
Получаем, что является нетривиальным решением ОСЛОДУ (1) является корнем характеристического уравнения, а соответственно СВ.
Построение ФСР ОСЛОДУ (1)
Пусть А - теперь действительная матрица, все корни характеристического уравнения простые, но среди них имеются комплексные. В этом случае комплексная ФСР строится точно так же, но если нам необходимы только всевозможные действительные решения ОСЛОДУ (1), то необходимо построить действительную ФСР и в этом случае.
Построение действительной ФСР в случае вещественной А, у которой все корни характеристического уравнения простые, но среди них имеются комплексные.
Пусть имеется
p вещественных корней
и
комплексных корней
(Если А – вещ и
корень
характеристического уравнения, то
также корень характеристического
уравнения)
Док-во:
Все корни различны. Рассмотрим комплексную
ФСР
=
те
же действия производим с остальными
переменными столбцов кс решений, тогда
через q шагов получим
Таким образом получим систему
ЛНЗ действительных решений. Это и будет
действительная ФСР. Окончательно,
действительная ФСР имеет вид
т.е. в комплексной ФСР каждая пара
и
нами заменена на пару (ЛНЗ)
Вопрос 22. Замечания о построении фср в случае кратных корней
Рассмотрим
Будем искать
ее решение в виде
.
Где Т – построенная невырожденная
матрица. Тогда
.
Допустим, что матрица А диагонализуема
(т.е. линейный оператор, которому она
отвечает в некотором базисе имеет
диагонализуемую матрицу. Это возможно
базис из СВ этого ЛО
у всех его СЗ АК=ГК. В этом случае Т
представляет собой матрицу, в столбцах
которой записаны координаты собственных
векторов ) Предположим, что
базис из СВ. Тогда
Тогда получим, что
Таким образом независимо от того
являются ли корни характеристического
уравнения простыми или нет, в случае,
когда
базис из СВ, отвечающий этим СЗ, ФСР
имеет один и тот же вид, а именно
с
той лишь разницей, что в случае кратных
корней некоторые
могут совпадать.
В случае
когда хотя бы для одного
АК > ГК (ради определенности пусть АК
=k, ГК=m m<k)
можно показать, что
k ЛНЗ решений, отвечающих
такому
,
который имеет вид
столбцы
подлежащие определению : Как их отыскать
? Подставим (20) в
получим тождество
Далее приравниваем коэффициенты при
одинаковых степенях t
получим :
…………..
Теор.
ЛНЗ решений вида
,
отвечающих этому СЗ(без док-ва)
Подставим в ОСЛОДУ, получим, что
,
т.о.
Эта система обладает расширенной
матрицей
и совместна при всех значениях
.
Из условия совместимости получаем
ограничения на
,
т.е. связь между ними, т.е. будет зависеть
от m новых констант
будет
зависеть от некоторых старых (это же
касается
Постепенно, спускаясь вниз, будем на каждом шаге получать m новых констант и дополнительных ограничений на старые константы. В конце останется k констант. Собирая коэффициенты при них мы получим k элементов ФСР отвечающих данному .