Вопрос 17

Построение ОСЛОДУ по заданной ФСР

Теор. Пусть система непрерывных дифференцируемых функций на . Тогда ОСЛОДУ с непрерывными на коэффициентами, для которой данный набор функций является ФСР на сущ. на

Док-во: Если ФСР некоторой ОСЛОДУ на

Пусть Рассмотрим тогда следующую ОСЛОДУ.

Каждый из столбцов удовлетворяет этой ОСЛОДУ. Раскроем теперь все определители по последнему столбцу, получим : Поскольку , то получаем (11) это и есть ОСЛОДУ с непрерывными коэффициентами.

В процессе док-ва построена такая система для которой данный набор функции является ФСР системы.

Вопрос 18 Неоднородные слоду

1. 

непрерывные на коэффициенты правые части

Рассмотрим соответствующую ОСЛОДУ (2)

Теор.

Док-во: Покажем, что решение. . Покажем теперь, что любое решение СЛОДУ (1) входит в (3). Пусть произвольное решение (1). Рассмотрим разность . Покажем, что эта разность удовлетворяет (2). . Пусть какая-нибудь ФСР ОСЛОДУ (2), тогда любое решение СЛОДУ (1) может быть представлено в виде при некоторых значениях

Вопрос 19

Метод вариации произвольных постоянных.

Пусть ФСР ОСЛОДУ (1) ФМР. Тогда , где столбец произвольных постоянных. Будем искать решение неоднородной системы в виде (4) где столбец функций подлежащих определению. Подставим (4) в (1) : , , т.к. ФМР является матричным решением ОСЛОДУ (2), т.е. . Тогда

. После интегрируем каждое из этих уравнений получаем : где первообразная … первообразная , константы. При каком-то конкретном наборе констант, например при получим, будет некоторым частным решением. Если же оставить произвольными, то получим . Тогда получим , т.е. все решения СЛОДУ (2)

Вопрос 20. Глава. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Фср ослоду с постоянными коэффициентами.

1. постоянная матрица, т.е.

Будем искать решение это системы в виде

Подставим в (1) получим : Поскольку , то . Если нас интересует нетривиальные решения, то должно быть нетривиальное решение ОСЛАУ (2) квадр ОСЛАУ (2) имеет нетривиальные решения

Опр. Уравнение называется характеристическим уравнением.

Известно, что в поле оно имеет n корней с учетом их кратности.

Замеч. Фактически являются соответственно СЗ и комп СВ ЛО, имеющего в некотором базисе матрицу А.

Получаем, что является нетривиальным решением ОСЛООДУ (1) является корнем характеристического уравнения, а соответственно СВ.

Построение ФСР ОСЛОДУ (1)

Все корни характеристического уравнения вещественны и различны. Т.е. имеем набор решений . Поскольку отвечают различным С, то они ЛНЗ. Покажем, что образуют ФСР ОСЛОДУ (1), т.е. является ЛНЗ на т.к. в столбцах det записаны координаты ЛНЗ векторов . ЛНЗ на всей это ФСР ОСЛОДУ (1)

Замеч. В рассматриваемом случае предполагалось, что А – вещественная матрица и была построена соответствующими вещ ФСР

Если А – комплексная матрица и все корни характеристического уравнения различны, то ФСР будет комплекснозначной. Тогда всевозможные ЛК элементов этой ФСР с комплексными коэффициентами дадут всевозможные комплексные решения ОСЛОДУ (1)