Вопрос 9 Уравнение Лагранжа и уравнение Клеро
Опр.
Уравнение
,
где
непрерывные и дифференцируемые функции
своего аргумента на некотором интервале
, причем
,
наз. уравнением Лагранжа. Применим к
его решению метод введения параметра
:
Поскольку
С другой
стороны
Тогда уравнение (2) имеет решение
уравнение
Лагранжа (1) обладает решением
Далее приведем
(2) к виду
это линейное неоднородное уравнение
относительно
.
Оно всегда интегрируемо в квадратурах.
Пусть его общее решение
произвольная
постоянная. Тогда в параметрической
форме решение уравнения Лагранжа
задается следующим образом
Итого всевозможные решения уравнения
Лагранжа (общее решение) будет :
Пусть теперь
,
т.е. рассмотрим уравнение (3)
Опр. Уравнение (3) называется уравнением Клеро
Решим его
методом введения параметра. Имеем :
Таким образом,
всевозможные решения уравнения Клеро
Как соотносятся
эти решения? Можно показать, что кривая
являются огибающей семейство прямых
, если
не является линейной функцией.
Вопрос 10 Уравнения высших порядков, интегрируемые в квадратурах или допускающие понижения порядка.
Пусть
Опр.
(1) называется ОДУ n-го
порядка, не разрешенного относительно
старшей производной.
Допустим в
некоторой области оно приводится к виду
,
где f определена в
,
то
Опр. (2) называется ОДУ 1-го порядка, разрешенном относительно старшей производной
Опр.
Частным решением уравнения (1) или (2)
называется функция
на
Совокупность всевозможных частных решений образует общее решение.
ЗК для (2) ставится следующим образом:
Нужно отыскать решения уравнения (2), удовлетворяющие дополнительному условию (называется начальными условиями)
…
Т.е.
Теор. (ТСЕ решения ЗК (3) )
Если в
некоторой области
,а точка
является внутренней точкой области D
, то
решение ЗК
В области
существования и единственности решения
общее решение уравнения (2) зависит от
n произвольных постоянных
т.е.
называется общим решением уравнения
(2) если всякое частное решение (2) получено
при некотором значении
,
а при любом наборе значений
представляет собой решение (2). Если это
решение задано в неявном виде
,
то говорят об общем интеграле уравнения
(2).
Соотношение
вида
являющееся следствием уравнения (2),
называется частным интегралом этого
уравнения. Например, соотношение
или
,
является следствием уравнения (2),
называется первым интегралом. Т.е.
функция
const,
но сохраняет постоянное значение на
любом решении уравнения (2)
Вопрос 11
А) Простейшее уравнение n-го порядка
,
где
.
Проинтегрировав это уравнение по x
Далее
Через некоторое количество шагов
Док-во: Докажем (11) методом математической индукции.
БАЗА.
(верно)
ШАГ. Пусть
утверждение верно для
,
т.е.
.
Тогда
,
т.е. формула верна и для
утверждение верно.
Таким образом, простейшее уравнение n-го порядка всегда интегрируемо в квадратурах имеет вид (11) #
Теперь докажем, что
Док-во: Применим метод ММИ. БАЗА
,
т.е.
верно
. ШАГ Пусть утверждение верно для
,
то есть выполнено
.
Тогда
верно,
то есть формула верна и для
утверждение верно
#
Таким образом,
простейшее уравнение n-го
порядка всегда интегрируется в
квадратурах, и его решение имеет вид
Б) Уравнения, допускающие понижения порядка
а)
,
то подстановкой
уравнение понижается на к единиц
.
Допустим, что решение
.
Тогда полученный промежуточный интеграл
б)
x не входит в уравнение в
явном виде. Порядок уравнения можно
понизить на единицу заменой переменных
,
где
.
Если
,
то
.
Вообще
уравнение принимает вид
решаем уравнение и получаем
.
Далее решаем
В)
однородное,
то аргумент
,
т.е.
.
В этом порядок
уравнения можно понизить на 1 заменой
.
В этом случае
Докажем
методом ММИ
БАЗА для
верно(см.выше)
ШАГ
индукции. Допустим, что утверждение
верно для
,
докажем что оно также верно для
верно
, то есть утверждение справедливо
уравнение
(n-1) порядка
Г) Допустим,
что
,
тогда уравнение
имеет первый интеграл
.
Порядок снижается на 1.