Маленькое дополнение

Допустим, имеется уравнение Покажем, что в случае когда уравнение имеет по крайней мере один действительный корень, общий интеграл (5) будет (6)

Док-во: Пусть , тогда задает решение

Рассмотрим выражение . Покажем, что оно неявно задает является решением (5) , т.е. обратим его тождество при подстановке. По теореме о неявной функции, задается уравнение (6)

Вопрос 7. Метод введения параметра

Рассмотрим уравнение

Известно, что уравнение задает некоторую поверхность в . Эта поверхность может быть параметризована следующим образом причем для выполняется . На каждом решении уравнения (6) должно быть выполнено соотношение . Из (7) и (8) получаем , что

а это уравнение для , разрешенное относительно производной

Пусть его общее решение имеет вид : т.е. на всякой интегральной кривой связаны соотношением (9) при некотором значении С. Тогда общее решение исходного уравнения может быть параметрически задано следующим образом

Частный случай

Если уравнение (6) легко разрешить относительно т.е. представить в виде , то в качестве параметров выбирают по следующей схеме Тогда

общее решение

общее решение задано неявно , где р – параметр

Замеч. Нельзя писать далее, что и интегр его, т.к. р – параметр

Рассмотрим

Самый простой случай решения уравнения – разрешить его относительно , то есть привести к одному или нескольким уравнениям вида и решить их, объединить все решения.Поскольку далеко не всегда удается это сделать , чаще применяется метод введения параметра.

Вопрос 8

Опр. Огибающей S семейство кривых называется линия, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой(прямой) этого семейства, не совпадая с S в сколь угодно малой окрестности этой точки.

Рассмотрим уравнение Клеро

Решим его:

И з курса дифф геометрии известно, что если семейство кривых

имеет огибающую, то она является решением системы

Исключим С из этой системы, получим связь типа . при этом всякая кривая задаваемая этой системой называется С-дискриминантной кривой. В частности, огибающая является С-дискриминантной кривой, но не только она.

С- дискриминантная кривая может содержать: огибание, точки заострения, узловые точки.

Огибание

Точки заострения(возврата)

Узловые точки

Но если известно, что ограничены и необратимы в ноль одновременно, то система (4) задает именно огибающую.

Поставим ЗК для уравнения Клеро

На нашем примере можно увидеть, что ЗК

По каждому из направлений Решение ЗК

Более одного решения проходит через точку (0;0) по заданному направлению

По крайней мере решение и решение, т.е. в случае 3) происходит нарушение единственности решения ЗК

Опр. Множество точек, в которых нарушается единственность решения ЗК называется особым множеством. Если это особое множество представляет собой интегр. кривую исходного ДУ, не разрешенного относительно производных, то говорят об особом решении. В частности, огибающая уравнение Клеро является особым решением этого уравнения.

Особые решения уравнения, не разрешенных относительно производных.

Рассмотрим (1)

Опр. Решение называется особым решением уравнения (1) , если через любую его точку по тому же направлению проходит другое решение уравнения (1) , не совпадающее с в любой сколь угодно малой окрестности т

Из этого определения следует, что если семейство решений имеет огибающую, то она является особым решением

Как отыскать особые решения? Поскольку, в каждой точке особого решения нарушается единственность решения ЗК, то если является непрерывно дифференцируемой функцией нарушение единственности решения ЗК (в соответствии с ТСЕ) может возникнуть, если в некоторой точке выполняется это :

Всякая кривая, являющаяся решением этой системы называется Р-дискриминантной кривой.

В частности, особое решение (если существует) является Р-дискриминантной кривой. Однако з-дискриминантная кривая не обязана является особым решением.

Вообще р-дискриминантная кривая может быть:

О гибание

Точки заострения

Точки прикосновения

Ассимптотич.

Из всех этих случаев только огибающая является особым решением

Таким образом особое решение всегда непрерывно дифференцируема ищем по схеме:

1. Отыскиваем всевозможные з-дискриминантные кривые (они являются решением системы (2))

2. Проверяем, являютcя ли эти кривые интегральными кривыми уравнения (т.е. удовлетворяет ли ему)

3. Если они удовлетворяют этому уравнению, проверяем, нарушается ли в каждой их точке единственность решения , т.е.

Замеч. Это же касается с-дискриминантных кривых

Замеч. Если не является дифференцируемым, то особое решение возможно определяется условием, что частные производные функции или сама функция неограничены.