Вопрос 5. Уравнение в полных дифференциалах

Рассмотрим . Пусть дифференцируем в G

Опр. Если , соответственно , то (51) называется уравнением в полных дифференциалах (УПД) в G. Из курса матанализа известно, что необходимое и достаточное условие того, что является полным дифференциалом в односвязной области G Общим интегралом этого уравнения будет соотношение

Теор. , где дифференцируемая функция из определения УПД является общим интегралом УПД

Док-во: . С другой стороны , если , то

является решением УПД

Рассмотрим задачу Коши для УПД:

Общим интегралом первого уравнения является соотношение , с другой стороны поскольку точка искомой интегральной кривой , то на ней решение ЗК (62) неявно задается соотношением . Если , то по ТСЕ неявной функции (63) задает в некоторой окрестности точки . Аналогично, если , то (63) задает в некоторой окрестности точки

Теор. (Критерий полного дифференциала в односвязной области )

Дифференцируемая форма в односвязанной области является полным дифференциалом

Доказывается в ВТА

Практический способ отыскания

Рассмотрим ЗК (62) для УПФ

Пусть : далее приравниваем по теореме из теории интегралов, зависимость от параметра= . Соответственно общим интегралом УПД будет соотношение а решением ЗК (62) неявно задается соотношением

Интегрирующий множитель

Пусть не является УПД

Опр. Если существует дифференцируемая функция для становится УПД, называется интегрирующий множителем уравнения (*)

Каким условием должна удовлетворять

В одной области

или , т.е. должна удовлетворять уравнению в частных производных . В общем случае это уравнение решить еще труднее чем исходное (*). Известно, что при непрерывном дифференцировании не обращ в ноль одновременно, инт. множитель уравнения (*) существует.

Их существует много(инт. множество), а для того, чтобы решить уравнение, достаточно одной такой функции. Покажем, при каких условиях уравнение (*) имеет интегрирующий множитель специального вида, например

. Обозначение: . Тогда подставим в (**), получим :

(***) ОДУ

Рассмотрим некоторые частные случаи, когда интегрирующий множитель легко находится.

Пусть не зависит от y, т.е. . Тогда инт. мн-ль находится из ур-я:

Пусть не зависит от x, т.е. . Тогда инт. мн-ль находится из ур-я:

Пусть P(x,y) и Q(x,y) – однор. ф-ии порядка . Введем , где

Вопрос 6. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной

Пусть определена в . Рассмотрим уравнение .

Пусть уравнение имеет хотя бы одно решение , т.е.

Теор. (ТСЕ решения ЗК для уравнения 1-го порядка не разрешённого относительно производной)

Рассмотрим ЗК

1. 

2. 

3. тогда в некоторой , причем дополнительно выполнено условие

Док-во: Из условий 1-3 получаем, что уравнение задает в некоторой окрестности точки (по ТСЕ неявной функции) ЗК приобретает вид , причем непрерывна и непрерывна в окрестности точки выполняется условие ТСЕ решения ЗК для уравнения 1-го порядка, разрешенного относительно производной

решение ЗК (3), которое является и единственным решением ЗК (1), (2) удовлетворяющее дополнительному условию

Замеч. Дополнительная информация о решении необходима для того, чтобы из множества интегральных кривых, проходящий через выбрать кривую единственную проходящую по направлению

может иметь несколько решений

Рисунок для случая, когда имеется

. Каждая из ЗК имеет единственное решение

Замеч. Нарушение решение ЗК, проходящего по заданному направлению чаще всего связанно с нарушением 3 свойства ТСЕ, т.е. если . В этом случае ЗК может не иметь решения, а может и иметь, причем возможно неединственное, проходящее по этому направлению