Вопрос 3. Решение оду 1-го порядка в простейших случаях.
В простейшем случае методика решения ОДУ следующая : предположим, что решение , подставим его в уравнение и получим тождество. Из тождества равносильными преобразованиями получим общее решение. Проверить подстановкой в уравнение.
Уравнения с разделяющимися переменными
где
.
Пусть кроме
того
на
Подставляя
сюда предполагаемое решение, получаем
тождество, которое проинтегрируем по
;
;
;
(предположительно это общий интеграл).
Т.к.
сохраняет знак
строго
монотонная функция
.
Проверим, что (3) определяет общее
решение. Пусть
Тогда
,
т.е. обращают (1) в тождество
(3) общее решение, а (2) – общий интеграл.
Замеч.
Если в какой-либо точке
,
то функция
тоже является решением уравнения (1) и
его нужно присоединить к (3)
Опр.
Выражения
( M,N-
известные функции двух переменных,
dx,dy –
дифференциалы переменных x,
y) называется дифференциальной
формой, а уравнения
=0
– уравнением в дифференциалах. Его
решением называется каждое из решений
ОДУ 1-го порядка
.
Наиболее
общий вид уравнения с разделяющимися
переменными
Решается аналогичным образом.
Рассмотрим
уравнение
Оно сводится к уравнению с разделяющимися
переменными путем замены
Док-во:
(10)
уравнение
с разделяющимися переменными.
Пусть (10)
имеет общий интеграл
Тогда (9) имеет общий интеграл
Однородные уравнения.
(11)
(12)
,
где M,N –
однородные функции одной степени
однородности
Опр. Уравнения (11) и (12) называется однородными ОДУ
Заменой
,
где
однородные ОДУ сводятся к уравнениям
с разделяющимися переменными
Док-во:
;
(12)
К однородным сводятся уравнения вида
,
где
Док-во:
сделаем замену переменных
,
причем
решение
СЛАУ
Тогда
.
Аналогично
Вопрос 4.
Линейные ОДУ 1-го порядка.
(21)
Опр.(21)
называется линейным ОДУ 1-го порядка.
Если
,
то оно называется линейным однородным.
В противоположном случае – линейным
неоднородным.
Метод вариации произвольных постоянных
Рассмотрим соответствующее однородное уравнение. Оно всегда является уравнением с разделяющимися переменными :
где
.
Тогда
так
как является решением этого уравнения)
общее решение однородного уравнения
можно записать в виде
(где
Для решения неоднородного уравнения сделаем замену переменных.
где
Тогда
.
Подставляя
в
(21) получим
Тогда
Теор.(Об
общем решении неоднородного линейного
ОДУ 1-го порядка)
Уравнение Бернулли
(31)
Уравнение
Бернулли решается путем замены переменных
,
где
сводится к линейному неоднородному
уравнению.
Док-во:
Разделим обе части (31) на
(Учитываем, что при
.
Полагаем
.
Тогда
.
Тогда
линейное
неоднородное уравнение относительно
.
Пусть его общее решение
.
Тогда общий интеграл уравнения (31) будет
(При
к нему еще присоединяется
Уравнение Риккати
(41)
,
где
(41) называется уравнением Риккати
1841 г. Лиувиль
доказал, что оно не интегрируемо в
квадратурах в общем случае. Но если
каким-либо образом известно частное
решение этого уравнения, то общее решение
можно найти путем сведения его к уравнению
Бернулли заменой
.
Разность любых двух частных решений уравнения Риккати является решением уравнения Бернулли.
Док-во:
Пусть
и
,
тогда
уравнение
Бернулли с
Пусть
Тогда
общее
решение исходного уравнения Риккати