Вопрос 42.

Рассмотрим теперь задачу нахождения экстремума функционала (1) с закрытыми концами (2) при наличии голономной связи : . В этом случае теоремой функционала с неголономной связью воспользоваться нельзя, поскольку и . Кроме того, из-за наличия голономной связи (6) краевого условия (2) становится зависимым, т.е. числа не могут быть какими угодно, а должны удовлетворять условиям т.е. только одно число из каждой пары и выбираются свободно.

Теор. Пусть пара реализует экстремум функционала (1) с голономной связью (6) и краевыми условиями (2) (которые тоже удовлетворяют этой связи), причем :

2. непрерывны со своими частичными производными до 2-го порядка включительно

3. 

то непрерывная функция , такая что является решением краевой задачи Эйлера для функционала с дополнительными условиями (6), т.е. Поскольку , то будет выполнятся автоматически

Без док-ва.

ПРИМЕРЫ(?)

Предположим

Рассмотрим задачу о геодезической линии на верхней поверхности цилиндра

Из уравнения поверхности

Из граничных условий :

геодезическая линия . Или :

т.е винтовая линия

Вопрос 43.

Вариационная задача с подвижным концом.

Ставится задача нахождения экстремума функционала при условии, что левый конец закреплен а правый подвижен, причем

Теор. Если реализует экстремум функционала (1) с закрепленным левым концом (2) и подвижным правым и выполняются условия :

1. непрерывна с элементами до 2-го порядка включительно

2. , тогда

является решением уравнения Эйлера для функционала (1) : , удовлетворяющим условиям (2), (3) и кроме того, на правом конце для него выполняется условие транверсальности :

#без доказательства#

Замеч. Если закреплен правый конец , а левый движется по закону , т.е. , тогда на

левом конце должно выполнятся условие трансверсальности :

Тогда на обоих концах должно выполнятся условие трансверсальности

Замеч. В случае свободного конца ( правый закреплен , левый свободный любое ) условие трансверсальности приобретает вид

Пример 1. Найти условие трансверсальности для функционала

Решение. Пусть левый конец экстремали закреплен в точке , а правый конец может перемещаться по кривой . Тогда получим . В нашем случае . Условие трансверсальности запишется так : . Отсюда в силу условия , получаем . Геометрически условие(6) означает, что экстремали должны пересекать кривую , по которой скользит граничная точка по углом .

В самом деле, соотношение (6) можно представить так: положим, что касательная к экстремали в точке , лежащей на кривой , пересекает ось Ox под углом а касательная к заданной кривой под углом . Тогда и левая часть формулы (6) дает , но , поэтому , откуда , откуда , что и требовалось показать.

Пример 2.Найти минимальное расстояние между параболой и прямой экстремали прямые линии вида . Выбираем экстр. удов. гранич. условиям: и условиям трансверсальности: . Поскольку , то условие трансверсальности приобретает следующий вид : . Теперь используем граничные условия