Вопрос 40.

Важные частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера.

Замеч. В отличие от задачи Коши, краевая задача может и не иметь решений, а может иметь неединственное решение

Примеры :

1. . Уравнение Эйлера . Это решение удовлетворяет краевым условиям, но если поставить поставить другие краевые условия, например

2. 

имеется бесконечно много решений

Рассмотрим важные частные случаи

1. (не зависит от (не дифференциальное уравнение, а просто конечное уравнение связи x и y). Она может неявно задавать , но из-за отсутствия произвола эта функция редко удовлетворяет краевым условиям, т.е. чаще всего краевая задача решения не имеет

2. если есть решение этого уравнения, то это константа , которая тоже чаще всего не удовлетворяет краевым условиям

3. линейная по функция. Тогда получим :

Опять получаем конечное выражение эта некоторая связь между x и y, которая может явно задавать , но она чаще всего не удовлетворяет краевым условиям. Если же , то . По любой кривой значение интеграла одно и то же, т.е. вариационная задача теряет смысл.

4. Пусть корни уравнения в любом случае экстремали прямые линии

5. первый интеграл это уже уравнение 1-го порядка

6. . Домножим обе части на добавим и вычтем в левой части имеется первый интеграл Тоже порядок понизился до первого.

Вопрос 41.

Условный экстремум.

Задача. Найти экстремум функционала (1) с закрытыми концами (2) при наличии дополнительных условий

заданная функция своих переменных

Эта задача называется задачей нахождения условного экстремума с неголономной связью

Теор. Если пара реализует экстремум функционала (1) с закрытыми концами (2) при наличии неголономной связи (3) и выполняются условия :

1. 

2. непрерывны со своими частичными производными до 2-го порядка включительно

3. 

то дифференцируемая функция , такая что является решением краевой задачи Эйлера для функционала с дополнительными условиями (3), т.е.

Без док-ва.

Рассмотрим так называемую изопериметрическую задачу. Найти экстремум функционала с закрытыми концами , при условии, что функционал (имеет заданное значение)

Часто в качестве берут функционал , который задает длину кривой, соединяющей , т.е. длина кривой фиксированна (т.е. ищется экстремум функционала при условии постоянства длины кривой)

Сведем эту задачу к задаче с неголономной связью. Рассмотрим функцию . Тогда . Таким образом, имеем следующую вариационную задачу : Найти экстремум функционала с закрытыми концами при наличии связи (неголономной) . Тогда, если реализует экстремум функционала и не является экстремалью функционала , то число является решением КЗ Эйлера для функционала , т.е

Пример. Задача Дидоны.

Огородить максимальную площадь веревкой длины 2l с концами, закрепленными на расстоянии 2a друг от друга . . Рассмотрим . Тогда имеем вариационную задачу

Решаем это уравнение методом введения параметра

Из краевых условий

. Рассмотрим этот случай: при

решение при , т.е. при . Если