Вопрос 37.

ТСЕ. Доказательство единственности.

Лемма. (Лемма Гронуолла)

Если непрерывна и неотрицательна на и удовлетворяет условию , то

Док-во: рассмотрим , которая также непрерывна и неотрицательна на достигает своей верхней грани на . Предположим, что

#

Докажем теперь единственность решения ЗК на (слева доказывается аналогично)

Док-во: Пусть решения ЗК на . Тогда непрерывно, неотрицательно на и условие Л в П удовлетворяет условию Леммы Гронуолла с #

Вариант 38.

Глава. Элементы вариационного исчисления Основные понятия

Пусть ЛНП ( норма

1. ,причем

2. 

3. )

Напомним, что функционалом называется правило(закон), по которому каждому элементу ЛП ставится в соответствие число.

вещественное ЛП

считаем областью задания функционала

Замеч. Иногда функционал задан не на всем V, а на некотором его подмножестве . Тогда М считается областью задания функционала.

Основное ЛП, которое мы будем рассматривать, это ЛП функций, непрерывных на со своими производными до к-го порядка включительно.

Норма в вводится следующим образом :

В

В или

Поскольку элементами рассматриваемой ЛНП являются фактически функции , то мы их будем называть кривыми, а иногда точками, линейного пространства.

Опр. окрестностью кривой называется совокупность всех кривых . Если рассматривать , то окрестность называется сильной, а если это и т.д. окрестность называется слабой

Опр. называется непрерывной на кривой , если (непрерывная тоже бывает слабая и сильная в зависимости от того, какая норма берется для

Опр. Будем говорить, что функционал достигает максимума на кривой , если строгий максимум, нестрогий максимум) (так также может быть сильным или слабым, в зависимости от того, какая норма берется для . Аналогично определяется локальный минимум.

Локальный максимум или минимум будем называть локальным экстремумом функционала. Далее слово локальный будем опускать.

Замеч. Если функционал на кривой достигает сильного экстремума, то он достигает и слабого, обратное неверно.

Всякое условие, необходимое для слабого экстремума, необходимо и для сильного. Это будем использовать в дальнейшем.

Опр. Если можно представить в виде где линейный по функционал , то называется дифференцируемым в точке , а его вариацией в точке

Опр. Пусть Тогда называется вариацией кривой(т.е. вариация кривой это произвольное ее приращение)

Опр. Пусть . Рассмотрим . Эту разность назовем приращением функционала

Опр. Пусть число достаточно мало, так что . Тогда если , то она называется вариацией функционала в точке (в узком смысле)

Можно показать, что если функционал является дифференцируемым в узком смысле, то он будет дифференцируем и в широком смысле, причем обе вариации при этом совпадают. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако для интегральных, которые мы будем рассматривать, это одно и то же. Но вариация в узком смысле проще вычисляется, поэтому будем дальше пользоваться вторым(т.е. в узком смысле)

Теор. (Необходимое условие экстремума дифференцируемого функционала)

Если дифференцируемый функционал достигает экстремума во внутренней точке множества М ( внутренняя точка М, если , то

Док-во: Пусть ради определенности на кривой достигается минимум . Возьмем произвольную ненулевую вариацию . Рассмотрим всевозможные . Тогда . Рассмотри функцию одного переменного : . Тогда для тех же выполняется, что достигает минимума в точке , т.к. . Поскольку дифференцируем в точке , то , но эта производная будет равна . А в точке достигает минимума , т.е. #