Вопрос 35.
Напомним, что
В случае произвольной ищем методом вариации произвольных постоянных. Однако в случае специального вида удобнее применять метод неопределенных коэффициентов
Теор. (принцип суперпозиции)
Если является решением уравнения , то является решением уравнения
Док-во: #
Пусть многочлен степени с определенными коэффициентами, произвольная(комплексная)
В силу принципа суперпозиции рассмотрим поиск для
Возможны 2 случая :
нерезонансный случай
резонансный случай
Резонансный случай.
Пусть
корень
характеристического уравнения кратности
k :
Теор.
Если
,
то
,
где
многочлен
той же степени, что и
и его коэффициенты по данным коэффициентам
определяются единственным образом.
Док-во:
Используя диф тождество, подставим
в уравнение
,
получим :
.
Рассмотрим ЛО
,
действующего в ЛП многочлена степени
.
.
Тогда
.
Покажем, что
.
От противного. Пусть
Тогда
Если
,
получим
невозможно. Если же
,
первое слагаемое многочлена степени s
, а остальные слагаемые имеют степень
< s, т.к. там берутся более
высшие производные
невозможно чтобы сумма = 0. Пришли к
противоречию
,
т.е. нулевой многочлен. Таким образом
Он определяется единственным образом.
определяется
единственным образом
Замеч.
На практике
отыскивают подставляя
в уравнение
,
сокращая
и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях t. Получают СЛАУ
из
неизвестных. Из док-ва теоремы получаем,
что она имеет единственное решение.
Если уравнение
имеет действительные коэффициенты
,
а
,
где
многочлены
степеней
с действительными коэффициентами,
в виде
,
где
многочлены
степени m с действительными
коэффициентами
,
если
,
если
корень кратности k
Вопрос 36. Тсе решение зк для уравнения 1-го порядка, разрешенного относительно производной. До-во существования решения
определена в
начальные
условия
ЗК. Найти
интегральную кривую уравнения (1)
проходящую через
найти
решение (1), удовлетворяющее н.у. (2))
Теор.
Пусть
.
Тогда
в
решение уравнения (1) удовлетворяющее
н.у. (2) и это решение единственное на
Док-во: Поэтапное доказательство существования решения
Докажем, что удовлетворяет в П условию Липшица по переменной , т.е.
теор.
о конечных приращениях
удовлетворяет условию Л в П
Докажем, что ЗК (1), (2) эквивалентна интегральному уравнению
##
Пусть
решение
ЗК (1), (2). Тогда
.
Проинтегрируем это тождество от
до
Пусть
решение
(4). Тогда
Дифференцируем по
,
получим :
причем
является решением ЗК (1), (2)##
(Построение функциональной последовательности) Строим функциональную последовательность следующим образом. Везде считаем, что
(Принадлежность П)
Покажем,
что при
выполняется, что
т.е.
##
……
##
(Абсолютная и равномерная сходимость функциональной последовательности)
Покажем,
что
сходится абсолютно и равномерно на
##
Очевидно
Таким образом, сходимость последовательности
эквивалента сходимости функционального
ряда
(т.к.
Рассмотрим
.
Тогда
……
Тогда
Числовой ряд
Сходится по признаку Даламбера
мажорируется сход числовым рядом
сходится абсолютно и равномерно на
по правилу Вейерштрассе.
сумма
ряда.
причем
непрерывна при
в случае равномерной сходимости.
Замеч.
в силу теоремы о предельном преходе в
неравенствах
(Равномерная сходимость
)
Покажем, что
##
критерий
сходимости функциональной последовательности.
Рассмотрим
##
(Решение интегрального уравнения)
Покажем, что
является решением интегрального
уравнения (4)
##
(из (5))
в
силу равномерной сходимости
Но поскольку интегрируемое уравнение
(4) эквивалентно ЗК (1), (2) то
и является решенной ЗК ##
Таким образом доказано, что решение ЗК
Доказательство
конструктивное. Указан метод построения
решения. (Метод последовательного
приближения
#