Вопрос 26. Однородные лоду вп

1. 

Свойства:

1. Обладает тривиальным решением

Док-во: очевидно

2. (Линейность)

Если и решения (1), то также является решением (1) (можно распространить на любое количество решений)

Сл. Совокупность всевозможных решений (1) образует ЛП, которое будем называть ЛП решений ЛОДУ ВП

Опр. Совокупность функций называется ЛЗ на , если нетривиальный набор чисел . Если же это возможно только когда , то совокупность функций называется ЛНЗ.

3. Уравнение (1) обладает n ЛНЗ решениями

Док-во: Рассмотрим n решений уравнения (1). , являются решениями ЗК для (1) с начальными условиями соответственно Покажем, что эти решения ЛНЗ. Пусть Продифференцируем это тождество (n-1) раз, получим : Полагая в (4) получим . Таким образом, ЛНЗ

4. Любая система из (n+1) решения (1) будет ЛЗ

Док-во: Рассмотрим решение (1). Пусть . Составим ОСЛАУ Число уравнений число неизвестных эта ОСЛАУ обладает нетривиальным решением. Пусть это Это ЛК решений (по св-ву 2) это тоже решение (1). В силу (5) оно удовлетворяет следующему НУ : является решением ЗК (1) (6). Но эта ЗК также имеет тривиальное решение. По ТСЕ имеем нетривиальный набор) на ЛЗ на

Сл. ЛП решений ЛОДУ ВП (1) имеет размерность = n, и соответственно любые n ЛНЗ решений могут быть его базисом

Вопрос 27.

Опр. Упорядоченный набор n ЛНЗ ЛОДУ ВП (1) называется его фундаментальной системой решений (ФСР)

5. Пусть произвольная ФСР в ЛП решений (1), то общее решение (1) имеет вид , где произвольные постоянные

Док-во: следует из того, что ФСР базис

Рассмотрим на линейное однородное дифференциальное уравнение . Общим решением этого уравнения на отрезке называется функция , зависящая от n произвольных постоянных и удовлетворяющая следующим условиям:

1. при любых допустимых значениях постоянных , функция является решением уравнения на

2. какова бы ни была начальная точка , существуют такие значения , что функция удовлетворяет начальным условиям

Вопрос 28.

Опр. Пусть набор функций (не обязательно решение (1)). Тогда называется определителем Вронского системы функций

6. Формула Лиувилля

Если решение ЛОДУ ВП (1), то

Док-во: n=2 Пусть решения (1), тогда , т.е. получаем ОДУ , При получим

Сл. Если решение ЛОДУ ВП (1) (с непрерывными коэффициентами на , то либо , либо

7. Если решение ЛОДУ ВП (1) с непрерывными коэффициентами на и в некоторой , то ЛЗ на

Док-во: Пусть . Дифференцируем раз, получим При нетривиальное решение . Рассмотрим является решением ЗК для (1) с нетривиальным НУ. Эта ЗК также имеет тривиальное решение на ЛЗ

Замеч. Это свойство не выполняется для произв (n-1) раз дифф функций на

8. Свойство

Если произвольная система ЛЗ функций на , то

Док-во: Пусть нетривиальный набор . Тогда Поскольку эта СЛАУ обладает нетривиальным решением, то

9. (О построении уравнения по ФСР)

Система функций образует ФСР некоторого ЛОДУ n-го порядка с непрерывными на коэффициентами

Док-во:

Пусть теперь . Рассмотрим . Очевидно решение этого уравнения(т.к. при подстановке дают два одинаковых столбца). Раскрывая по последнему столбцу, получим : . Соотв алгебраические коэффициенты выражены через известные функции и и их производные до n порядка включительно определены и непрерывны на . Тогда Получим искомое уравнение, примем его ФСР.

10. Если и вещественные функции является комплексным решением уравнения . Тогда также является решением и также является решением