Вопрос 23.

Неоднородные СЛОДУ с постоянными коэффициентами.

постоянная матрица.

В общем случае . Если ФСР ОСЛОДУ (1) ФМР. Тогда , , а отыскиваем, полагая (метод вариации произвольных постоянных). Однако в случае, когда имеет специальный вид, удобнее использовать метод неопределенных коэффициентов.

Теор. (принцип суперпозиции)

Если является решениями соответствующей системы ,

то является решением системы

ДОКАЗАТЬ

Метод неопределенных коэффициентов.

Теор. Если ,

то имеет r решений вида :

. не является корнем характеристического уравнения . являются корнем характеристического уравнения алгебраической кратности k. Неизвестные столбцы могут быть найдены путем подстановки решений вида (1) в неоднородную СЛОДУ и приравнены коэффициенты при степенях t в правой и левой частях. (без доказательства)

Теор. Если А – вещественная матрица, а , где векторные многочлены с действительными коэффициентами, , тогда система обладает частным решением такого вида : , где векторные многочлены с действительными коэффициентами соответственно. . не является корнем характеристического уравнения . являются корнем характеристического уравнения алгебраической кратности k. Коэффициенты многочленов R и T определяются путем подстановки решений вида (2) в неоднородную СЛОДУ и приравнивая коэффициенты при в обеих частях (без док-ва)

Вопрос 24. Глава. Линейные оду высокого порядка (лоду вп) Определение лоду вп, сведение к нормальной слоду

неизвестная функция

1. Называется ЛОДУ ВП, его коэффициенты

Будем считать, что непрерывны на рассмотренном интервале

Если то ЛОДУ ВП называется однородным, в противном случае – неоднородным (противоположный случай, когда f хотя бы в одной точке отлична от 0)

Опр. называется частным решением (1), если и при подстановке в (1) обращает его в тождество

Опр. Совокупность всевозможных частных решений образует общее решение уравнения (1). Сведем (1) к нормальной системе

Пусть

Тогда (2)

Всякое решение (1) будет решением (2) и наоборот. Поэтому (1) эквивалентна системе (2) и соответственно его общее решение содержат и произвольных постоянных. Пусть произвольный набор чисел ЗК для (1) формулируется следующим образом: найти решение уравнения (1), удовлетворяющее дополнительным условиям (3) . Условия (3) называются начальными условиями ЗК. Легко показать, что ЗК (2) (3) Эквивалентна ЗК для СЛОДУ :

В данном случае , Из связи ЗК (2) (3) с ЗК для СЛОДУ с непрерывными коэффициентами и получаем:

Теор. (ТСЕ)

Если , то для набора на всем решение ЗК (1), (2) теорема носит глобальный характер

Вопрос 25

Опр. Функции называются ЛЗ на , если существуют вещественные числа, не все равнее нулю, такие, что при всех . В противном случае функции называются ЛНЗ на

Утв. Любые (n+1) решений уравнения (1) ЛЗ на

Док-во: Пусть решения уравнения (1) на Составим их линейную комбинацию и приравняем ее к нулю . Последовательно дифференцируем это равенство (n-1) раз. В результате получим следующую систему n уравнений Зафиксируем в этой системе уравнений. Относительно переменных это однородная система линейных алгебраических уравнений, у которой число уравнений (n) меньше числа неизвестных (n+1), поэтому она имеет бесконечное множество нетривиальных решений. Пусть одно из них. Рассмотрим функцию . Эта функция является решением уравнения (1). Кроме того, . Тогда на , а это и означает ЛЗ на

Утв. У уравнения (1) на существует n ЛНЗ решений.

Док-во: Пусть решений уравнения (1), удовлетворяющих следующим начальным условиям . Покажем, что они ЛНЗ. Последовательно дифференцируем это равенство n-1 раз . Положим . С учетом начальных условий (2) получаем Отсюда