Задание 4
Решить дифференциальное уравнение x'=f(t,x) на отрезке [a;b] при заданном начальном условии x(a)=c и шаге интегрирования h Решение дифференциального уравнения осуществить тремя методами:
а) методом Эйлера,
б) модифицированным методом Эйлера,
в) методом Рунге-Кутта.
Найти аналитическое решение предлагаемого уравнения (таблица первообразных) на указанном отрезке и рассчитать абсолютную погрешность численного метода интегрирования (разница между значением, получаемым по аналитическому, истинному значению функции y = x(t), и значением, получаемым с помощью численного метода). На основе проведённых расчётов сделать вывод о точности интегрирования каждого из методов на основе сравнения их абсолютных погрешностей.
Вариант |
Правая часть дифференциального уравнения f (t, x) |
a |
b |
c |
h |
28 |
|
1 |
2 |
1,5 |
0,1 |
Решение
Воспользовавшись средствами MS Excel, проинтегрируем искомое уравнение методом Эйлера, модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта; сведем полученные результаты в виде таблиц и графиков, после чего сделаем вывод о наиболее практичном и эффективном способе интегрирования.
а) Метод Эйлера
Таблица 7
Результаты интегрирования методом Эйлера
n |
t |
h |
yi |
fi |
Δ=abs(yi-fi) |
1 |
1 |
0,1 |
1,5000 |
1,5000 |
0,0000 |
2 |
1,1 |
|
1,6412 |
1,6331 |
0,0081 |
3 |
1,2 |
|
1,7671 |
1,7533 |
0,0138 |
4 |
1,3 |
|
1,8822 |
1,8645 |
0,0178 |
5 |
1,4 |
|
1,9900 |
1,9696 |
0,0203 |
6 |
1,5 |
|
2,0929 |
2,0712 |
0,0218 |
7 |
1,6 |
|
2,1934 |
2,1713 |
0,0221 |
8 |
1,7 |
|
2,2935 |
2,2720 |
0,0215 |
9 |
1,8 |
|
2,3952 |
2,3754 |
0,0198 |
10 |
1,9 |
|
2,5006 |
2,4837 |
0,0169 |
11 |
2 |
|
2,6123 |
2,5998 |
0,0126 |
Данное
уравнение
имеет аналитическое решение
-ctg(1)+2,14
Для сопоставления вычислим точное значение решения дифференциального уравнения.
Рисунок 6 - Точное и численное решение уравнения методом Эйлера
б) Модифицированный метод Эйлера
Таблица 8
Результаты интегрирования модифицированным методом Эйлера
n |
t |
h |
yi |
fi |
Δ=abs(yi-fi) |
1 |
1 |
0,1 |
1,5000 |
1,5000 |
0,0000 |
2 |
1,1 |
|
1,6371 |
1,6331 |
0,0039 |
3 |
1,2 |
|
1,7600 |
1,7533 |
0,0067 |
4 |
1,3 |
|
1,8731 |
1,8645 |
0,0086 |
5 |
1,4 |
|
1,9795 |
1,9696 |
0,0099 |
6 |
1,5 |
|
2,0817 |
2,0712 |
0,0105 |
7 |
1,6 |
|
2,1820 |
2,1713 |
0,0107 |
8 |
1,7 |
|
2,2823 |
2,2720 |
0,0103 |
9 |
1,8 |
|
2,3848 |
2,3754 |
0,0094 |
10 |
1,9 |
|
2,4917 |
2,4837 |
0,0079 |
11 |
2 |
|
2,6054 |
2,5998 |
0,0057 |
Рисунок 7 - Точное и численное решение уравнения модифицированным методом Эйлера.
в) Метод Рунге-Кутта
Таблица 9
Результаты интегрирования методом Рунге-Кутта
t |
h |
K1 |
K2 |
K3 |
K4 |
yi |
Fi |
D=abs(y-Fi) |
1 |
0,1 |
0,1412 |
0,1185 |
0,1186 |
0,1315 |
1,5000 |
1,5000 |
0,0000 |
1,1 |
|
0,1259 |
0,1120 |
0,1120 |
0,1194 |
1,6245 |
1,6331 |
0,0087 |
1,2 |
|
0,1151 |
0,1072 |
0,1072 |
0,1108 |
1,7400 |
1,6331 |
0,1069 |
1,3 |
|
0,1077 |
0,1037 |
0,1037 |
0,1050 |
1,8491 |
1,7533 |
0,0958 |
1,4 |
|
0,1030 |
0,1014 |
0,1014 |
0,1015 |
1,9537 |
1,8645 |
0,0892 |
1,5 |
|
0,1005 |
0,1002 |
0,1002 |
0,1000 |
2,0554 |
1,9696 |
0,0858 |
1,6 |
|
0,1001 |
0,1001 |
0,1001 |
0,1006 |
2,1556 |
2,0712 |
0,0845 |
1,7 |
|
0,1017 |
0,1009 |
0,1009 |
0,1033 |
2,2558 |
2,1713 |
0,0845 |
1,8 |
|
0,1054 |
0,1028 |
0,1027 |
0,1083 |
2,3572 |
2,2720 |
0,0852 |
1,9 |
|
0,1117 |
0,1058 |
0,1058 |
0,1161 |
2,4613 |
2,3754 |
0,0859 |
2 |
|
0,1209 |
0,1102 |
0,1101 |
0,1277 |
2,5698 |
2,4837 |
0,0861 |
Точное и численное решение уравнения методом Рунге-Кутта.
Сравним значения абсолютных погрешностей каждого метода
Таблица 10
Сводная таблица значений погрешностей каждого из методов интегрирования
|
метод Эйлера |
модифицированный метод эйлера |
метод Рунге-Кутта |
|||
n |
||||||
1 |
t |
yi |
t |
yi |
t |
yi |
2 |
1 |
1,5000 |
1 |
1,5000 |
1 |
1,5000 |
3 |
1,1 |
1,6412 |
1,1 |
1,6003 |
1,1 |
1,6210 |
4 |
1,2 |
1,7671 |
1,2 |
1,7014 |
1,2 |
1,7344 |
5 |
1,3 |
1,8822 |
1,3 |
1,8067 |
1,3 |
1,8422 |
6 |
1,4 |
1,9900 |
1,4 |
1,9192 |
1,4 |
1,9462 |
7 |
1,5 |
2,0929 |
1,5 |
2,0421 |
1,5 |
2,0477 |
8 |
1,6 |
2,1934 |
1,6 |
2,1794 |
1,6 |
2,1479 |
9 |
1,7 |
2,2935 |
1,7 |
2,3369 |
1,7 |
2,2481 |
10 |
1,8 |
2,3952 |
1,8 |
2,5235 |
1,8 |
2,3495 |
11 |
1,9 |
2,5006 |
1,9 |
2,7543 |
1,9 |
2,4532 |
12 |
2 |
2,6123 |
2 |
3,0580 |
2 |
2,5608 |
Исходя из полученных данных, можно сделать вывод, что точность интегрирования усовершенствованным методом Эйлера превосходит как метод Эйлера, так и Метод Рунге-Кутты.