Метод 2-х сигм
При использовании метода «двух сигм» воспользуемся формулой
Подставив соответствующие значения в данную формулу, рассчитаем «промах» опыта №6:
Погрешность результатов обоих методов составляет
Учитывая, что результаты обоих методов не дают противоречивые результаты и лежат в одном диапазоне (<2,24), примем во внимание данные, полученные при использовании обоих методов, откуда следует, что величина содержания фосфора в чугуне 0,26, полученная по данным атомно-эмиссионного анализа в ряду: 0,17; 0,16; 0,13; 0,15; 0,19; 0,26; 0,2; 0,18; 0,14, не является «промахом».
Задание 4
Решить
дифференциальное уравнение
на отрезке [2; 3] при заданном начальном
условии y(2)
= 1,2 и шаге интегрирования 0,1. Решение
дифференциального уравнения осуществить
тремя методами:
а) методом Эйлера,
б) модифицированным методом Эйлера,
в) методом Рунге-Кутта.
Найти аналитическое решение предлагаемого уравнения (таблица первообразных) на указанном отрезке и рассчитать абсолютную погрешность численного метода интегрирования (разница между значением, получаемым по аналитическому, истинному значению функции y = x(t), и значением, получаемым с помощью численного метода). На основе проведённых расчётов сделать вывод о точности интегрирования каждого из методов на основе сравнения их абсолютных погрешностей.
Вариант |
Правая часть дифференциального уравнения f (t, x) |
a |
b |
c |
h |
4 |
|
2 |
3 |
1,2 |
0,1 |
Решение
Воспользовавшись средствами MS Excel, проинтегрируем искомое уравнение методом Эйлера, модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта; сведем полученные результаты в виде таблиц и графиков, после чего сделаем вывод о наиболее практичном и эффективном способе интегрирования.
а) Метод Эйлера
Таблица 7 – Результаты интегрирования методом Эйлера
n |
t |
h |
Yi |
Fi |
∆=abs(Yi-Fi) |
1 |
2 |
0,1 |
1,200 |
1,200 |
0 |
2 |
2,1 |
|
1,228 |
1,227 |
0,00153516 |
3 |
2,2 |
|
1,254 |
1,251 |
0,00282997 |
4 |
2,3 |
|
1,277 |
1,273 |
0,00393492 |
5 |
2,4 |
|
1,298 |
1,293 |
0,00488626 |
6 |
2,5 |
|
1,317 |
1,311 |
0,00571179 |
7 |
2,6 |
|
1,334 |
1,328 |
0,00643322 |
8 |
2,7 |
|
1,350 |
1,343 |
0,00706766 |
9 |
2,8 |
|
1,365 |
1,357 |
0,00762881 |
10 |
2,9 |
|
1,378 |
1,370 |
0,00812772 |
11 |
3 |
|
1,391 |
1,382 |
0,00857342 |
Данное уравнение имеет аналитическое решение Fi=1/1,4ln│(-0,7+t)/(0,7+t)│+C. Для сопоставления вычислим точное значение решения дифференциального уравнения (Fi).
Рисунок 3 – Точное и численное решение уравнения методом Эйлера
б) Модифицированный метод Эйлера
Таблица 8 – Результаты интегрирования модифицированным методом Эйлера
n |
t |
h |
Yi |
Fi |
∆=abs(Yi-Fi) |
1 |
2 |
0,1 |
1,200 |
1,200 |
0 |
2 |
2,1 |
|
1,228 |
1,227 |
0,00075816 |
3 |
2,2 |
|
1,253 |
1,251 |
0,00139708 |
4 |
2,3 |
|
1,275 |
1,273 |
0,00194272 |
5 |
2,4 |
|
1,295 |
1,293 |
0,00241281 |
6 |
2,5 |
|
1,314 |
1,311 |
0,00282097 |
7 |
2,6 |
|
1,331 |
1,328 |
0,00317785 |
8 |
2,7 |
|
1,347 |
1,343 |
0,00349184 |
9 |
2,8 |
|
1,361 |
1,357 |
0,00376969 |
10 |
2,9 |
|
1,374 |
1,370 |
0,00401681 |
11 |
3 |
|
1,387 |
1,382 |
0,00423766 |
Рисунок 4 – Точное и численное решение уравнения модифицированным методом Эйлера
в) Метод Рунге-Кутта
Таблица 9 – Результаты интегрирования методом Рунге-Кутта
t |
K1 |
K2 |
K3 |
K4 |
y |
Fi |
∆=abs(y-Fi) |
2 |
0,028490 |
0,0280333 |
0,02804056 |
0,0276 |
1,200 |
1,200 |
0 |
2,1 |
0,025510 |
0,0251652 |
0,02516986 |
0,024836 |
1,228 |
1,227 |
0,0010851 |
2,2 |
0,022989 |
0,0227236 |
0,02272665 |
0,022469 |
1,253 |
1,251 |
0,0020391 |
2,3 |
0,020833 |
0,0206270 |
0,02062898 |
0,020428 |
1,276 |
1,273 |
0,002882 |
2,4 |
0,018975 |
0,0188124 |
0,01881383 |
0,018654 |
1,297 |
1,293 |
0,0036288 |
2,5 |
0,017361 |
0,0172310 |
0,01723202 |
0,017104 |
1,315 |
1,311 |
0,0042927 |
2,6 |
0,015949 |
0,0158440 |
0,01584470 |
0,015741 |
1,333 |
1,328 |
0,004885 |
2,7 |
0,014706 |
0,0146204 |
0,01462089 |
0,014537 |
1,348 |
1,343 |
0,0054151 |
2,8 |
0,013605 |
0,0135352 |
0,01353556 |
0,013466 |
1,363 |
1,357 |
0,0058912 |
2,9 |
0,012626 |
0,0125681 |
0,01256836 |
0,012511 |
1,377 |
1,370 |
0,0063202 |
3 |
0,011751 |
0,0117024 |
0,01170256 |
0,011655 |
1,389 |
1,382 |
0,006708 |
Рисунок 5 – Точное и численное решение уравнения методом Рунге-Кутта
Сравним значения абсолютных погрешностей каждого метода
Таблица 10 – Сводная таблица значений погрешностей каждого из методов интегрирования
Метод |
|||
|
Эйлера |
Мод. Эйлера |
Рунге-Кутта |
Абсолютные погрешности расчетов |
0 |
0 |
0 |
0,00153516 |
0,00075816 |
0,0010851 |
|
0,00282997 |
0,00139708 |
0,0020391 |
|
0,00393492 |
0,00194272 |
0,002882 |
|
0,00488626 |
0,00241281 |
0,0036288 |
|
0,00571179 |
0,00282097 |
0,0042927 |
|
0,00643322 |
0,00317785 |
0,004885 |
|
0,00706766 |
0,00349184 |
0,0054151 |
|
0,00762881 |
0,00376969 |
0,0058912 |
|
0,00812772 |
0,00401681 |
0,0063202 |
|
Исходя из полученных данных, можно сделать вывод, что точность интегрирования модифицированным методом Эйлера превосходит как метод Эйлера, так и метод Рунге-Кутта.
1 Опыта, который исследуется на «промах».