3. Расчет гидравлических сопротивлений в трубопроводе и выбор центробежного насоса

3.1 Теоретическое обоснование расчета

3.1.1 Анализ основных уравнений для расчета

Расчет гидравлических сопротивлений при движении реальных жидкостей по трубопроводам является одним из прикладных вопросов гидродинамики. Важность определения потери напора (давления) связана с необходимостью расчета затрат энергии, требуемых для компенсации этих потерь и перемещения жидкости с помощью насосов, компрессоров и т.д. Потери напора в трубопроводе в общем случае обуславливаются сопротивлением трения и местными сопротивлениями.

Сопротивление трения существует при движении реальной жидкости по всей длине трубопровода. На его величину оказывает влияние режим течения жидкости (ламинарный, турбулентный, степень развития турбулентности).

Местные сопротивления возникают при любых изменениях скорости потока по величине и направлении. К их числу относятся: вхождение потока в трубу и выход из нее жидкости, внезапные сужения и расширения труб, отводы, колена, тройники, запорные и регулирующие устройства (краны, вентили, задвижки и другие устройства).

Внутренняя задача гидродинамики, к которой относится движение жидкости внутри трубопроводов, описывается системой уравнений Навье-Стокса [11, с.55]. Но решение системы дифференциальных уравнений в частных производных представляет собой сложную математическую задачу. Для упрощения этой задачи используют теорию подобия, методы которой позволяют заменить систему уравнений Навье-Стокса обобщенным критериальным уравнением гидродинамики [11, с.83]:

Eu = f(Re, Fr, Ho, Г), (1)

где Eu – критерий Эйлера;

Re – критерий Рейнольдса;

Fr – критерий Фруда;

Ho – критерий гомохронности;

Г – геометрический симплекс.

Критерий Эйлера показывает влияние перепада гидростатического давления на движение жидкости и определяется уравнением:

Eu = , (2)

где ΔР – перепад гидростатического давления, Па;

ρ – плотность перемешиваемой жидкости, кг/м³;

W – скорость движения жидкости, м/с.

Критерий Рейнольдса отражает влияние силы трения на движение жидкости и определяется формулой:

Re = , (3)

где l – характерный линейный размер, м;

µ - вязкость жидкости, Па*с;

ρ – плотность перемешиваемой жидкости, кг/м³.

Критерий Фруда отражает влияние силы тяжести или собственного веса на движение жидкости и определяется по уравнению:

Fr = , (4)

где g – ускорение свободного падения, м/с².

Критерий гомохронности учитывает неустановившийся характер движения в подобных потоках и определяется по уравнению:

Ho = , (5)

где τ – время, с.

Геометрический симплекс учитывает форму трубы и определяется уравнением:

Г = , (6)

где l – длина трубы, м;

d_э – эквивалентный диаметр трубы, м.

Обычно решение обобщенного критериального уравнения представляется в виде степенной функции:

Eu = A*Re^m*Frⁿ*Ho^p*Г^q, (7)

где A,m,n,p,q – эмпирические коэффициенты.

В этом случае решение сводится к нахождению в литературе значений A,m,n,p,q.

Сначала необходимо проанализировать обобщенное критериальное уравнение с точки зрения условия задачи:

1) Если в задаче не оговорена нестационарность потока или это не вытекает из условий, то можно считать поток стационарным, т.е. величина показателя степени p = 0, и критерием гомохронности можно пренебречь (Ho^p=1).

2) В условиях вынужденного движения капельной жидкости или газа влияние силы тяжести на распределение скоростей и перепад давлений в потоке очень мало и им можно пренебречь; таким образом, показатель степени n=0 (Frⁿ=1).

С принятыми допущениями уравнение (7) сводится к виду:

Eu = A*Re^m* )^q. (8)

В результате обобщения опытных данных, полученных различными авторами, установлено, что при движении жидкости в трубопроводе с гладкими стенками в пределах Re = 4*10³ – 10⁵ численные значения коэффициентов А = 0,158, m = -0,25, q = 1.

Следовательно, для указанных условий уравнение (8) имеет следующий вид:

Eu = 0,158*Re^-0,25* (9)

С учетом формулы (2) выразим величину перепада давления

ΔР_тр = 0,316*Re^-0,25* * . (10)

Величина (0,316*Re^-0,25) обозначается символом λ и называется коэффициент гидравлического трения (коэффициент трения): λ = 0,316*Re^-0,25. Тогда уравнение (10) запишется в виде:

ΔР_тр = λ* * , (11)

где λ – зависит от режима движения (величина Re) и шероховатости стенок труб.

Шероховатость количественно оценивают усредненной величиной абсолютной шероховатости е и вводят ее понятие относительной шероховатости ε

ε = ,

где е – абсолютная величина средней шероховатости стенок труб.

Коэффициент гидравлического трения λ рассчитывается по общей формуле:

= -2*lg (12)

Для гладких труб, когда влиянием шероховатости можно пренебречь, получим:

= -2*lg = 1,8*lgRe – 1,5 (13)

Для автомодельной области, когда величина λ практически перестает зависеть от критерия Re и определяется лишь шероховатостью стенок труб, в уравнении (12) можно пренебречь вторым слагаемым в скобках и получить:

= -2*lg (14)

Если Re ≤ 23/ε, то применяется уравнение (13) для гладких труб.

Если Re ≥ 220* ε^-1,125, то применяется уравнение (14) для автомодельной области.

Если Re принимает промежуточное значение, то используется уравнение (12) или уравнение:

λ = 0,11*( + )^0,25, (15)

где е_э – эквивалентная абсолютная шероховатость, мм.

Приведенные уравнения (12)-(15) пригодны для изотермического потока.

Для определения величины λ можно использовать также график [2, с.22].

Помимо потерь на трение на линейных участках трубопровода происходят потери энергии на преодоление местных сопротивлений (повороты; внезапные расширения и сужения; запорно-регулирующая арматура и т.п.)

Потери давления в местных сопротивлениях определяются по уравнению:

ΔР_м.с. = Σξ_м.с.* , (16)

где ξ_м.с. – коэффициент местного сопротивления.

Суммарная потеря давления (напора) на преодоление трения и местных сопротивлений рассчитывается по формуле:

ΔР_пот = ΔР_тр + ΔР_м.с. = (1+λ* +Σξ_м.с.)* (17)

Если сеть представляет собой трубопровод постоянного поперечного сечения, то потери давления (напора) на полное гидравлическое сопротивление сети равны:

ΔР_сети = (1+λ* +Σξ_м.с.)* +ρ*g*h_геом+(Р₂-Р₁), (47)

где h_геом – высота подъема жидкости, м;

Р₂ и Р₁ – давление соответственно в приёмной и расходной ёмкостях, Па.