Системы с цифровыми управляющими устройствами
Модели систем цифрового управления непрерывными объектами
Дискретизация времени и квантование уровней сигналов в большинстве современных систем управления обусловлена применением цифровых управляющих устройств.
Принципиальная схема системы цифрового управления непрерывным объектом изображена на Рисунок 6.1.
Рисунок 6.1. Система цифрового управления непрерывным объектом
Динамика
непрерывного объекта описывается
дифференциальными уравнениями и/или
ПФ
.
Цифровое
управляющее устройство (УУ) описывается
разностными уравнениями и/или дискретной
ПФ
,
равной отношению
-изображений
и
,
где
изображение ошибки системы.
Модель
системы (Рисунок 6.2) оказывается
неоднородной (гибридной), так как она
образована разнородными элементами, а
переносимая между ними информация
кодируется различными типами сигналов:
аналоговыми
и с дискретным временем
.
Рисунок 6.2. Структурная схема системы цифрового управления
Разнородные компоненты системы взаимодействуют с помощью интерфейса, роль которого играют аналого-цифровой и цифроаналоговый преобразователи (АЦП и ЦАП). Как правило, АЦП выполняет измерительные, а ЦАП — исполнительные функции.
Работа АЦП и ЦАП должна быть синхронизирована; они имеют дополнительные входы для сигнала таймера (см. Рисунок 6.1).
АЦП содержат квантизаторы уровня, в которых число уровней определяется длиной машинного слова. Если мощность множества значений сигнала велика, как это бывает в современных компьютерах, то квантованием уровня в большинстве случаев моделирования можно пренебречь.
Примем,
что моделью АЦП является так называемый
«ключ», который периодически замыкается
на пренебрежимо малое (по сравнению со
скоростью изменения переменной) время.
Ключ позволяет получать информацию о
переменной ошибки
в равноотстоящие моменты времени
;
T период дискретизации времени (англ. Ts Sampling Time время выборки).
ЦАП
другая часть интерфейса между непрерывной
и цифровой частями
до поступления новой информации от УУ
экстраполирует значения управляющего
воздействия на объект
.
Простейший
и часто применяют экстраполятор нулевого
порядка
(фиксатор)
сохраняет предыдущее значение сигнала
управления:
.
Сигнал на выходе фиксатора имеет вид ступенчатой функции непрерывного времени.
Гибридная модель системы цифрового управления непрерывным объектом на языке графического редактора программы MATLAB/Simulink выглядит так, как это показано на Рисунок 6.3.
Рисунок 6.3. Гибридная модель цифровой системы управления в среде Simulink/MATLAB
Обратим внимание на то, что выход блока Discrete Transfer Fcn, реализующего дискретную ПФ, непосредственно подается на вход блока Transfer Fcn, реализующего непрерывную ПФ.
Это
возможно потому, что блок Discrete
Transfer Fcn
реализован в окружении интерфейса
(Рисунок 6.4). В диалоговом окне блока
необходимо указать период дискретизации
времени
s.
Рисунок 6.4. Схема реализации блока Discrete Transfer Fcn
Однородные модели систем управления
Для анализа и синтеза систем управления по гибридным моделям расчетные методы развиты слабо. Основным, если не единственным, методом исследования систем управления по неоднородным (гибридным) моделям остается компьютерная имитация.
Несмотря на вычислительные и графические возможности современных программ имитации способ плохо приспособлен для вывода суждений общего характера о поведении систем. Это объясняется зависимостью конкретного решения, зависящего от начальных условий и воздействий.
Примеры:
- анализ устойчивости (нельзя «для всех»);
- синтез при значительной исходной неопределенности; перебор вариантов путем многократной имитации весьма трудоемок даже в случае параметрического синтеза — настройки регулятора выбранного типа.
Необходимы расчетные, аналитические методы.
Известные методы расчета линейных непрерывных и дискретных однородных моделей не могут непосредственно применяться к гибридным моделям.
Актуальна задача построения однородных моделей гибридных систем.
Построение однородных моделей по гибридным моделям означает исключение всех других типов переменных кроме одного непрерывного или дискретного.
Дискретная
модель системы цифрового управления
непрерывным
объектом. Для
построения однородной модели с дискретным
временем необходимо исключить переменные
непрерывного времени
в последовательности преобразований,
представленной на Рисунок 6.2.
Рисунок 6.4. Структурная схема
В результате последовательность из трех элементов — фиксатора, ПФ непрерывного объекта и ключа — описывается дискретной моделью объекта в виде разностных уравнений и дискретной ПФ (Рисунок 6.5).
Рисунок 6.5. Однородная дискретная модель
К однородной дискретной модели могут быть применены расчетные методы анализа и синтеза.
Дискретизация непрерывной системы, дифференциальные уравнения которой представлены в форме пространства состояний (ФПС)
;
y(t) = C x(t).
Ее решение имеет вид:
.
(6.1)
Поскольку
на входе непрерывной системы стоит
фиксатор, входная переменная остается
постоянной от момента
до момента
,
т. е. на интервале времени между моментами
замыкания ключа.
Примем за начало и конец отсчета моменты и ; тогда решение (6.1) запишется так:
.
После замены переменной интегрирования
получим разностное уравнение в ФПС:
,
y[k] = C x[k],
где
(6.2)
Известно, что функция от квадратной матрицы представляет собой матрицу того же размера. Ее собственные значения связаны с собственными значениями матрицы-аргумента по той же функциональной зависимости.
Собственные
значения
матрицы состояний дискретной системы
связаны
с собственными значениями матрицы
непрерывной системы так:
.
(6.3)
На Рисунок 6.6 изображены две комплексные плоскости собственных значений непрерывной и дискретной систем.
Рисунок 6.6. Комплексные плоскости собственных значений непрерывной и дискретной систем
В программе MATLAB/Control System Toolbox процедура дискретизации линейных моделей выполняется по команде c2dm.
Можно указать метод (фиксатор нулевого порядка (‘zoh’), метод Тастина и др.).