4. Оценка области притяжения положения равновесия

Устойчивость линейной модели означает устойчивость «в малом» положения равновесия нелинейной системы (первый метод Ляпунова). Другими словами, существует область притяжения положения равновесия.

Подключим динамический регулятор к нелинейному объекту (Рисунок 3.1).

Рисунок 3.1. Система «нелинейный объект + динамический регулятор»

Для нелинейной системы (см. Рисунок 3.1) проведем проверку выполнения условия устойчивости «в малом». Линеаризуем замкнутую систему и вычислим собственные значения:

>> [Ac,Bc,Cc,Dc]=linmod2('cartpole_closed');

>> eig(Ac)

ans = -18.0000

-12.0000

-1.0000

-2.0000

-3.0000

-4.0000

-6.0000

-6.0000

Получены те же собственные значения. Таким образом, существxfует область устойчивости — положение равновесия нелинейной системы управления устойчиво «в малом».

Рисунок 3.2. Поведение системы при начальном отклонении маятника на 0.25 рад.

Вместе с тем, для практики важно знание размеров области притяжения положения равновесия (устойчивость «в большом»).

Для нелинейных моделей нет расчетных методов оценки размеров области притяжения. Единственным способом приближенной оценки является многократное компьютерное моделирование при различных начальных условиях.

Для примера на Рисунок 3.2. приведен результат такого поиска — процессы при максимальном отклонении маятника на 0.25 радиана от положения равновесия. Линейный динамический регулятор способен стабилизировать нелинейный объект.

3. Синтез систем регулирования операторным методом

   1. Анализ линейной системы

Передаточная функция объекта

>> plant = tf([3.125 0 -102.083],[1 0 -42.875 0 0])

3.125 s^2 - 102.1

---------------------

s^4 - 42.88 s^2

ПФ замкнутой системы

>> sysc = feedback(plant, regulator)

3.125 s^5 + 143.8 s^4 - 1.791e04 s^3 - 1.106e05 s^2 + 5.816e05 s + 3.459e06

-------------------------------------------------------------------------------------------------

s^7 + 46 s^6 + 791 s^5 + 6566 s^4 + 28644 s^3 + 66024 s^2 + 74304 s + 31104 Заметим, что знаменатель ПФ замкнутой системы совпадает с желаемым ХП, корни которого

>> eig(sysc)

-18.0000

-12.0000

-6.0000

-4.0000

-3.0000

-2.0000

-1.0000

получились в точности заданными.

2. Компьютерное моделирование нелинейной системы

Подключим к нелинейной модели объекта регулятор, как показано на Рисунок 4.1.

Рисунок 4.1. Компьютерная модель системы стабилизации

Переходные процессы в системе при максимальном отклонении маятника рад приведены на Рисунок 4.2.

Рисунок 4.2. Процессы в системе при максимальном отклонении маятника рад

Затухающие процессы при максимальном отклонении каретки x_0max = 0.015 м показаны на Рисунок 4.3.

Рисунок 4.3. Процессы в системе при максимальном отклонении каретки м

3. Синтез системы стабилизации частотным методом

   1. Частотный метод синтеза

Воспользуемся частотным методом синтеза системы стабилизации маятника на каретке. Метод позволяет учитывать естественным образом собственную динамику управляемого объекта.

Имеются развитые средства MATLAB/SISO Design Tool, позволяющими автоматизировать синтез и коррекцию следящих систем в частотной области. Здесь для наглядности процедуры синтеза ограничимся только основными командами MATLAB/Control System Toolbox.

Пусть дополнительно к датчику положения каретки x(t) имеется и датчик углового положения маятника θ(t).

1. Вначале найдем обратную связь, стабилизирующую положение маятника. Передаточная функция (ПФ) управляемого объекта по паре вход-выход вырождается до второго порядка

−10.42/(s² – 42.92) (5.1)

Обратим внимание на знак «минус».

Вырождение ПФ означает неполную наблюдаемость объекта по этому каналу ― с помощью обратной связи от датчика углового положения маятника до привода каретки нельзя стабилизировать каретку. Частичная наблюдаемость по одному из каналов будет использовано для декомпозиции процедуры синтеза.

Известно, что обратная связь перемещает корни характеристического полинома системы в разной степени в зависимости от усиления контура на частотах, которым принадлежат модули корней. Если усиление контура менее –20 дБ, то корни, модули которых принадлежат этому диапазону частот, перемещаются мало. Полюсы ПФ объекта вообще неподвижны, если их компенсируют равные им нули, т. е. на комплексной частоте полюсов фактическое усиление контура равно нулю.

Вводим ПФ объекта (5.1) в рабочее пространство MATLAB и построим логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ, диаграмма Боде) канала (Рисунок 5.1, кривая 1).

>> pendulum=tf(-10.42,[1 0 -42.92])

-10.42

-----------

s^2 - 42.92

>> bodemag(pendulum)

>> hold on

Рисунок 5.1. Логарифмические амплитудно-частотные характеристики

разомкнутого контура стабилизации маятника

Асимптотическая ЛАЧХ объекта состоит из двух асимптот ― низкочастотной с наклоном 0 дБ/дек и высокочастотной с наклоном –40 дБ/дек.

Усиление объекта по рассматриваемому каналу мало на всех частотах — при замыкании контура полюсы практически останутся на месте. В контур необходимо ввести усилитель, чтобы на частотах перемещаемых полюсов усиление превышало 20 дБ. Для повышения степени подвижности неустойчивого полюса 6.5513 ПФ объекта (5.1) повысим усиление контура в 200 раз.

>> pendulum1=pendulum*200

-2084

-----------

s^2 - 42.92

>> bodemag(pendulum1,{1,1000})

Усиление поднимет ЛАЧХ контура на 46 дБ (кривая 2), т. е. расширяет полосу пропускания частот контура и обеспечивает подвижность неустойчивого полюса.

Однако при замыкании контура система окажется неустойчивой (получившие подвижность корни приближаются к границе устойчивости и даже переходят в правую полуплоскость). Необходима коррекция контура.

Известно, что типовая («желаемая») асимптотическая ЛАЧХ в области средних частот (частоты среза) имеет наклон –20 дБ/дек. Чем длиннее этот отрезок, тем больше запас устойчивости системы.

Для придания ЛАЧХ типового вида в области средних частот введем в контур корректирующее звено, ПФ которого имеет нуль z₁ = –20 и полюс p₁ = –1000

>> corr=tf([1/20 1],[1/1000 1])

0.05 s + 1

----------- . (5.2)

0.001 s + 1

Построим ЛАЧХ контура с последовательной коррекцией

>> bodemag(pendulum1*corr,{1,1000})

В окрестности частоты среза рад/с получился отрезок асимптоты с наклоном –20 дБ/дек (кривая 3 на Рисунок 5.1). При этом крайние частоты отрезка асимптоты отличаются в 36 раз, что обеспечивает достаточно большой запас устойчивости замкнутой системы.

Анализ замкнутой скорректированной системы

>> Pend_Control=feedback(pendulum1*corr, -1)

-104.2 s - 2084

------------------------------------

0.001 s^3 + s^2 + 104.2 s + 2041

В круглых скобках добавлен -1, так как команда feedback по умолчанию выбирает отрицательную обратную связь, а объект уже инвертирует сигнал.

Вычислим с.з. системы

>> eig(Pend_Control)

-884.9019

-89.2560

-25.8421

Цель достигнута ― собственные значения подсистемы являются отрицательными действительными числами (следствие большого запаса устойчивости) и находятся далеко от границы устойчивости (как следствие высокой частоты среза система оказывается быстродействующей).

Создадим simulink-модель нелинейной системы с замкнутым контуром стабилизации маятника с именем 'linear_pend_1' (Рисунок 5.2).

Рисунок 5.2. Модель нелинейной системы стабилизации маятника

Проведем анализ устойчивости системы стабилизации положения маятника — преобразуем модель к форме пространства состояний

>> [A1,B1,C1,D1]=linmod2('linear_pend_1' ');

и вычислим собственные значения

>> eig(A1)

0

0

-25.8421

-89.2560

-884.9019

Два нулевых собственных значения остались на месте. Они принадлежат неуправляемой части объекта — состоянию каретки.

2. Второй этап синтеза ― стабилизация положения каретки (с маятником). Управляемым объектом второго этапа (второго уровня) синтеза оказывается система, синтезированная на первом этапе (Рисунок 5.2). Ее входом, как и на первом этапе, является сила , действующая на каретку, а выходом ― положение каретки .

Вычислим ПФ объекта второго уровня:

>>plant1=ss(A1,B1,C1,D1);

или в факторизованном виде

>> zpk(plant1)

3.125 (s+1000) (s+5.718) (s-5.718)

-----------------------------------------------

s^2 (s+25.85) (s+89.21) (s+884.9)

ПФ не имеет одинаковых нулей и полюсов (объект является полностью управляемым и наблюдаемым).

ПФ имеет положительный нуль z₂ = 5.718, т. е. является неминимально-фазовой. Это свидетельствует о том, что объект второго уровня имеет отрицательный коэффициент усиления (точнее, добротность).

Известно, что корни ХП замкнутой системы стремятся к нулям ПФ разомкнутой системы, модули которых принадлежат диапазону частот, где велико усиление контура. Наличие у ПФ правого нуля требует, чтобы на этой частоте усиление контура было малым. Следовательно, на частоте z₂ ≅ 5.718 рад/с усиление желаемого контура должно быть не более –16…–20 дБ. Тогда замкнутая система не будет иметь собственных значений, близких к правому нулю ПФ объекта второго уровня.

Частотная характеристика объекта второго уровня приведена на Рисунок 5.3 (кривая 1).

>> bodemag(plant1,{0.01,1000})

Низкочастотная асимптота ЛАЧХ с наклоном –40 дБ/дек пересекает ось 0 дБ на частоте среза, примерно равной 0.2 рад/с.

Рисунок 5.3. ЛАЧХ второго этапа синтеза: объекта (1); контура после коррекции (2)

Дополнительным условием, накладываемым на желаемую ЛАЧХ контура второй подсистемы, является малое усиление на частотах корней, сформированных на первом этапе. Усиление контура должно быть менее –16…–20 дБ на частотах: 25.8421; 89.2560; 884.9019 рад/с. Таким образом, желаемая ЛАЧХ типового вида должна проходить ниже этих контрольных точек, что обеспечивает соблюдение обоих ранее оговоренных условий.

Очевидно, достаточно контролировать только низшую из перечисленных частот. Это требование автономности подсистем также ограничивает полосу пропускания частот контура, а соответственно и быстродействие системы стабилизации каретки.

Далее действуем аналогично процедуре синтеза первого контура. Включим активную последовательную коррекцию с ПФ:

>> corr1=tf([10 1],[0.1 1])

10 s + 1

---------

0.1 s + 1

т. е. введем в контур действительный нуль z₃ = –0.1 и полюс p₃ = –10, что дает типовую ЛАЧХ с отрезком асимптоты с наклоном −20 дБ/дек в окрестности частоты среза рад/с (кривая 2 на Рисунок 5.3).

Создадим simulink-модель системы с замкнутым контуром стабилизации каретки 'pend_2' (Рисунок 5.4). Обратим внимание на сумматоры, в которых сигналы обратных связей суммируются со знаком «+». Это следствие неминимально-фазовой ПФ объекта.

Рисунок 5.4. Структурная схема системы стабилизации 'pend_2', образованная двумя регуляторами

Рисунок 5.5. Структурная схема системы стабилизации 'pend_2', дополненная блоком анимации

Рисунок 5.6. Результат анимации структурной схемы системы стабилизации 'pend_2'

Для анализа устойчивости системы преобразуем модель к форме пространства состояний:

>> [A2,B2,C2,D2]=linmod2(pend_2');

и вычислим собственные значения:

>> eig(A2)

1.0e+02 *

-8.8489

-0.9497

-0.1480 + 0.0249i

-0.1480 - 0.0249i

-0.0040

-0.0014

Получилась устойчивая «в малом» система шестого порядка.

Большой разброс собственных значений приводит к сильно различающимся по темпу процессам стабилизации маятника и каретки.

Свойство неполной наблюдаемости маятника на каретке по выходу ― угловому положению маятника — позволило реализовать декомпозицию процедуры синтеза. Вначале синтезируется стабилизирующая обратная связь для маятника, после чего находится регулятор положения каретки. Ограничения, обеспечивающие условия приближенной автономности подсистем стабилизации маятника и каретки, естественным образом учитываются благодаря частотному подходу. Важнейшей особенностью частотного подхода является учет динамики объекта (нескорректированного контура) при выборе желаемого поведения, т. е. желаемой частотной характеристики.