2. Синтез наблюдателя состояний

Регулятор состояния формирует управляющие воздействия на основе текущей информации о всех переменных состояния.

Пусть реально измеряется только положение каретки х(t).

Для вычисления остальных переменных состояния используют так называемый наблюдатель состояния.

При построении регулятора предполагалось, что все переменные состояния объекта управления могут быть измерены непосредственно. Однако, как правило, измеряются только переменные выхода, число которых меньше порядка модели объекта. Уравнения состояния в этом случае дополняются уравнением выхода:

Если объект наблюдаем полностью, то по измеренным значениям переменной выхода y можно вычислять текущее состояние объекта. При этом управляющее воздействие на объект формируется по оценкам вектора состояния

Наблюдатель состояния представляет собой модель объекта, охваченную обратной связью по отклонению выходов модели и объекта y.

Рисунок 3.1 Асимптотический наблюдатель состояния

Оценка вектора состояния отличается от состояния v объекта из-за различия начальных условий, действующих на объект возмущений, а также неточности описания объекта. Однако при правильном выборе матрицы обратной связи наблюдателя L оценка асимптотически стремится к состоянию объекта v.

Можно показать, что задача синтеза наблюдателя — определения матрицы L — является дуальной по отношению к задаче синтеза регулятора — определения матрицы К. Поэтому матрицу наблюдателя L можно найти теми же методами, если вместо пары матриц (А, В) принять пару (А^Т, С^Т).

При назначении желаемых собственных значений матрицы наблюдателя необходимо стремиться к большему быстродействию контура наблюдателя.

Задача синтеза наблюдателя сводится к поиску матрицы наблюдателя L.

Задача имеет решение, если объект наблюдаем полностью по выходу х — перемещение каретки. Наблюдаемость состояния можно проверить по критерию Калмана, который сводится к проверке ранга матрицы наблюдаемости

:

>> rank(obsv(A,C))

4

Матрица наблюдаемости имеет полный ранг, следовательно, состояние объекта наблюдаемо полностью по выходу x.

Задачи синтеза регулятора и наблюдателя состояний дуальны. Наблюдатель также синтезируется методом размещения собственных значений.

Для обеспечения большего быстродействия назначим собственные значения наблюдателя несколько дальше от мнимой оси в левой полуплоскости:

>> po=3*p

po = -3 -6 -12 -18

Матрица наблюдателя L вычисляется по команде:

>> L=place(A',C',po)'

L = 1.0e+03 *

0.0390

-1.3563

-8.9251

0.5469

Если наблюдатель устойчив, то состояние модели асимптотически приближается к состоянию объекта .

3. Динамический регулятор

Динамический регулятор получим, если объединить регулятор состояния и наблюдатель состояния.

Уравнения динамического регулятора в ФПС имеют вид:

где матрицы вычисляются по команде:

>> [Ar,Br,Cr,Dr]=reg(A,B,C,D,K,L);

Проверим устойчивость регулятора:

>> eig(Ar)

ans =

-36.3324 +37.9782i

-36.3324 -37.9782i

26.3832

-5.7184

Регулятор неустойчив — имеется положительное собственное значение.

ПФ регулятора выглядит так

>> [numr,denr]=ss2tf(Ar,Br,Cr,Dr);

>> regulator=tf(numr,denr)

regulator = 2.611e04 s^3 + 1.704e05 s^2 - 4667 s - 1826

-----------------------------------------------

s^4 + 52 s^3 + 1110 s^2 - 6.805e04 s - 4.168e05

Отрицательные коэффициенты знаменателя ПФ — характеристического полинома динамического регулятора означает неустойчивость регулятора.

Для анализа устойчивости линейной системы получим матрицы системы уравнений замкнутой системы:

>>plant=ss(A, B,C,D);

>> sysc=feedback(plant,regulator);

и вычислим собственные значения системы:

>> eig(sysc)

-18.0000

-12.0000

-1.0000

-2.0000

-3.0000

-4.0000

-6.0000

-6.0000

Замкнутая линейная система с динамическим регулятором устойчива и имеет желаемые собственные значения системы и наблюдателя.

Таким образом, неустойчивый объект и неустойчивый регулятор образуют устойчивую систему с отрицательной обратной связью.