2. Анализ объекта управления

1. Компьютерное моделирование

Исходные нелинейные дифференциальные уравнения (1.3) нельзя решить аналитическим способом. Поэтому используются численные решения при конкретных начальных условиях и внешних воздействиях. Для автоматизации численных решений разработаны программные средства. Далее будем использовать программу MATLAB/Simulink фирмы The MathWorks, Inc.

Построение компьютерной модели сводится к выбору соответствующих библиотечных блоков и их соединение ориентированными связями, как показано на рисунок 2.1.

𝜃

Рисунок 2.1. Модель объекта на языке графического редактора Simulink

Представленная на Рисунок 2.1 схема — модель объекта (программа) на языке графического редактора Simulink. Основу программы образуют два двойных интегратора, входами которых являются вторые производные переменных. Блоки Fcn и Fcn1, реализуют выражения, находящиеся в правых частях второго и четвертого уравнений системы (1.3). На входы этих блоков подается вектор , сформированный блоком mux.

Выберем следующие значения параметров: l = 1 м; m = 0.1 кг; M = 0.4 кг.

Сохраним модель под именем ′pendulum′.

Проведем компьютерный эксперимент при начальных условиях: — маятник отклонен на 1 рад, угловая скорость маятника, положение и скорость каретки равны нулю. Рассматриваем свободные движения автономной системы — к каретке не приложена сила, т. е не оказывается управляющее воздействие .

На Рисунок 2.2 приведены результаты компьютерной имитации объекта. Из графиков ясно, что верхнее положение маятника не устойчиво — при отклонении от него состояние системы не возвращается к нему, а начинаются колебания маятника с амплитудой радиан относительно нижнего положения равновесия. Каретка также совершает периодические движения своеобразной формы (при движениях автономной механической системе центр тяжести остается неизменным).

Рисунок 2.2. Поведение объекта при начальных условиях — маятник отклонен на 1 рад, каретка на месте

Колебания маятника и каретки не затухают, т.к. математическая модель игнорирует потери энергии на преодоление сопротивления среды и трение. Для стабилизации верхнего положения равновесия маятника необходимо создать автоматическую систему управления.

2. Линеаризация дифференциальных уравнений

Аналитические методы синтеза систем управления по нелинейным моделям разработаны только для частных случаев.

Анализ устойчивость «в малом» верхнего положения равновесия маятника можно выявить по линеаризованной модели (первый метод Ляпунова).

Будем рассматривать малые отклонения переменных и , когда приближенно можно принять: Пренебрегая малыми величинами высших порядков, вместо нелинейных уравнений (1.3) получим линеаризованные уравнения в символьном виде:

(2.1)

Запишем линейную систему (2.1) в матричной форме с использованием вектора состояний

; (2.2)

. (2.3)

Первое из этих уравнений (2.2) называется уравнением состояний, второе (2.3) — уравнением выхода. В уравнении (2.3) за выход объекта — непосредственно измеряемую переменную — принято положение каретки, т. е. скаляр. Поэтому матрица выхода С оказывается строкой.

Получена линейная модель в так называемой форме пространства состояний (ФПС):

. (2.4)

Линеаризованные уравнения (2.1)—(2.4) позволяют исследовать устойчивость и процессы при малых отклонениях состояния маятника на каретке от верхнего положения равновесия.

Для линейных моделей разработано большое количество методов, алгоритмов и программ анализа и синтеза систем управления. Будем пользоваться программой MATLAB/Control System Toolbox.