МИНОБРНАУКИ РОССИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА)

Кафедра АПУ

ОТЧЕТ

по курсовой работе

по дисциплине «Теория автоматического управления»

Тема: СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НЕУСТОЙЧИВЫМ ОБЪЕКТОМ

Студент гр. 1391		Поникаровский А. В.
Студент гр. 1391		Тирик Б. Д.
Преподаватель		Имаев Д. Х.

Санкт-Петербург

2024

СОДЕРЖАНИЕ

1. Перевернутый маятник на каретке как объект управления 3

1.1. Перевернутый маятник на каретке 3

1.2. Математическая модель объекта управления 3

1.3. Дифференциальные уравнения в форме Коши 4

2. Анализ объекта управления 6

2.1. Компьютерное моделирование 6

2.2. Линеаризация дифференциальных уравнений 7

2.3. Линеаризация модели и анализ в среде MATLAB/Simulink 9

3. Синтез системы автоматической стабилизации методом пространства состояний 12

3.1. Синтез регулятора состояния 12

3.2. Синтез наблюдателя состояний 14

3.3. Динамический регулятор 16

3.4. Оценка области притяжения положения равновесия 18

4. Синтез систем регулирования операторным методом 21

4.1. Анализ линейной системы 21

4.2. Компьютерное моделирование нелинейной системы 22

5. Синтез системы стабилизации частотным методом 24

5.1. Частотный метод синтеза 24

6. Системы с цифровыми управляющими устройствами 35

6.1. Модели систем цифрового управления непрерывными объектами 35

6.2 Однородные модели систем управления 37

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 41

Список литературы 42

1. Перевернутый маятник на каретке как объект управления

1. Перевернутый маятник на каретке

Принципиальная схема механического объекта — перевернутого маятника на каретке — изображена на рисунке 1.1, где приняты следующие обозначения параметров:

• m – масса маятника, кг;

• M – масса каретки, кг;

• l – длина маятника, м,

а также переменных:

• (t) – угол отклонения маятника, рад;

• x(t) – положение каретки, м;

• f(t) – сила, действующая на каретку, Н (кг*м/сек²).

Целью управления является стабилизация верхнего положения равновесия маятника.

Рисунок 1.1. Принципиальная схема перевёрнутого маятника на каретке

Рассматриваемый объект имеет две степени свободы – вращательное движение маятника и поступательное движение каретки. Управление таким объектом осложняется тем обстоятельством, что имеется только одно управляющее воздействие – сила f(t), приложенная к каретке.

Для заданного варианта курсового проекта примем следующие значения параметров: l = 1 м; m = 0.1 кг; M = 0.4 кг.

2. Математическая модель объекта управления

Методы синтеза систем автоматического управления непрерывными объектами основаны на математических моделях в виде дифференциальных уравнений.

Рисунок 1.1 можно интерпретировать как символьную модель, представленную на языке механики. Для перевода знаний с языка механики (Рисунок 1.1) на язык математических моделей используют законы классической механики. Такой способ построения математических моделей называют аналитическим — он возможен для объектов хорошо изученной природы.

Примем следующие допущения:

• массы маятника и каретки сосредоточены;

• отсутствует сопротивление среды;

• отсутствует трение.

В качестве обобщенных координат для рассматриваемой системы с двумя степенями свободы выберем (t) — угол отклонения маятника и x(t) — положение каретки.

Математическая модель рассматриваемого объекта в виде системы двух дифференциальных уравнений второго порядка имеет вид:

(1.1)

(1.2)

Уравнение (1.1) представляет собой выражение баланса моментов, действующих на маятник, а уравнение (1.2) — баланса сил, действующих на каретку.

2. Дифференциальные уравнения в форме Коши

Анализ объекта и его компьютерное моделирование упрощаются, если дифференциальные уравнения разрешены относительно старших производных.

Заметим, что вторые производные в уравнения (1.1), (1.2) входят линейно. С учетом этого, приведем систему уравнений к матричной форме:

.

Прежде всего, проверим существование и единственность решения — вычислим определитель матрицы:

и убедимся в том, что он не равен нулю.

Для решения системы уравнений воспользуемся правилом Крамера

Теперь легко записать уравнения объекта в форме Коши:

;

(1.3)

;

Заметим, что правые части уравнений не содержат переменных , т. е. положение и скорость каретки не влияют на ускорения маятника и каретки. Объект может занимать любое положение или совершать равномерное поступательное движение.