1. Аппроксимация переходной функции решением дифференциального уравнения первого порядка с запаздыванием (интерполяционный метод Ормана)

Аппроксимирующая передаточная функция будет иметь вид

, (2.38)

а решение обыкновенного дифференциального уравнения

(2.39)

будет

(2.40)

где постоянная времени Т_об и время чистого запаздывания ₀ подлежат определению из экспериментальной кривой разгона.

Интерполяционный метод определения Т_об и ₀ заключается в следующем.

На нормированной переходной функции выбирают две точки А и Б с координатами h_А, _A, h_Б, _Б (см. рис. 2.5). Желательно, чтобы точка А была расположена около точки перегиба, а ордината h_Б равнялась 0,8–0,9. Рассматривая точки А и Б как интерполяционные узлы кривой (см. рис. 2.5), определим неизвестные величины последней:

; (2.41)

. (2.42)

Рис. 3. Аппроксимация переходной функции решением обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с запаздыванием

5.2 Аппроксимация переходной функции решением дифференциального уравнения с кратными действительными корнями

Переходная функция промышленного объекта аппроксимируется решением линейного дифференциального уравнения n-го порядка с нулевыми начальными условиями (время чистого запаздывания выделяют заранее) (рис. 2.5):

. (2.43)

Аппроксимирующая передаточная функция будет иметь вид

. (2.44)

Требуется определить всего две неизвестные Т_об и n.

Известно, что площадь над кривой может быть найдена как

, (2.45)

где Т_;  = 1, 2, 3, … n – постоянные некоторого фактического дифференциального уравнения объекта. Если предположить, что все Т_ = Т_об, то

. (2.46)

Задаваясь значением n, определяем Т_об по выражению (2.46).

Делаем проверку качества аппроксимации. При неудовлетворительной аппроксимации следует изменить величину n. Обычно удовлетворительное качество аппроксимации достигается при n  4.

Качество аппроксимации считается удовлетворительным, если выполняется неравенство

,

где g – 1, 2, …, g на всем интервале существования переходной характеристики;

h_p(t_g) и h_э(t_g) – расчетные и экспериментальные значения ординат переходной функции при t = t_g.

Значение интеграла в выражении (2.45) удобно определять по формуле трапеций (рис. 2.6)

, (2.47)

где y_i = h(T_y) – h(t_i), i = 0, 1, 2,…, N.

2. Определение коэффициентов дифференциального уравнения объекта по «методу площадей»

В основе метода, предложенного М.П. Симою [12], лежит предположение, что исследуемый объект может быть описан линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

(2.48)

где а₁, а₂, …, a_n, b₁, b₂, …, b_m – постоянные коэффициенты;

 – нормированное отклонение выходной величины;

 – единичное ступенчатое воздействие.

Рис. 4. К определению интеграла

Передаточная функция объекта, описываемого уравнением (2.48), может быть представлена в виде:

. (2.49)

Задача состоит в том, чтобы определить неизвестные коэффициенты а₁, а₂, …, a_n, b₁, b₂, …, b_m.

Однако нахождение коэффициентов полинома числителя передаточной функции связано с большими погрешностями, так как присутствие дифференцирующих звеньев усиливает действие помех.

Поэтому наиболее целесообразна аппроксимация передаточной функции при h(0) = 0 в виде

. (2.50)

Учитывая, что погрешность вычисления коэффициентов а_i полинома возрастает с увеличением i, в предлагаемом алгоритме порядок полинома ограничен, n  2. Кроме того, предлагаемый алгоритм предназначен для идентификации объектов без интегрирующих звеньев, т. е. объектов, обладающих свойством самовыравнивания.

Согласно [12] коэффициенты a_i передаточной функции (2.50) находятся по формуле

, (2.51)

где S_i – площадь i-го порядка под кривой (1 – G).

Площадь S₁ определяется следующим образом:

6. . (2.52)

После этого изменяется масштаб времени

. (2.53)

Тогда площадь S₂ находится по формуле

. (2.54)

Алгоритм содержит головную программу и подпрограмму для вычисления интегралов от функций, заданных в виде таблиц.

Подготовка исходных данных к расчету заключается в следующем:

1. Отбрасывается «чистое» запаздывание. Экспериментальная кривая разгона приводится к единичному возмущению с одновременным переходом к отклонениям от исходного состояния

;

.

Число экспериментальных точек М должно быть нечетным. Разбивка интервала наблюдения (0 – Т_у) – равномерная с шагом Н.

2. По статической характеристике определяется коэффициент передачи объекта К.

Порядок вычислений, реализуемый алгоритмом идентификации, следующий:

1. Вводятся исходные данные:

М – число экспериментальных точек;

N – порядок аппроксимирующего уравнения;

z_i – массив экспериментальных значений кривой разгона;

К – коэффициент передачи объекта;

Н – шаг интегрирования.

2. Для контроля исходные данные вводятся в том же порядке.

3. Экспериментальные значения кривой разгона переводятся к безразмерному виду

7. ,

определяется значение подынтегральной функции

и присваиваются вспомогательному массиву y_i = x_i.

4. По формуле Симпсона выполняется расчет интеграла S₁

.

5. Значение суммы S₁ присваивается первому коэффициенту a₁ = S₁.

6. Если N = 1, то выполняется расчет ординат переходной функции

в заданном интервале t = 0T_y.

Полученные значения выводятся в виде массива y_i.

7. Если N = 2, то рассчитывается новое время и подынтегральная функция

.

8. Определяется шаг интегрирования .

9. По формуле Симпсона рассчитывается S₂.

10. Находится коэффициент .

11. Рассчитывается дискриминант алгебраического уравнения

,

.

12. По дискриминанту определяется вид корней и выполняется расчет переходной функции.

Если D < 0, то корни комплексные

,

,

и переходная функция рассчитывается по формуле

.

Если D = 0, то корни вещественные кратные

и переходная функция рассчитывается по формуле

8. .

Если D > 0, то корни вещественные разные

,

.

Используя теорему разложения Хевисайда, получим уравнение переходной функции

.

Точность аппроксимации экспериментальной кривой разгона решением дифференциального уравнения оценивается по величине остаточной дисперсии

и по среднеквадратичному отклонению .