2 лабораторная МОТС

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра АПУ

отчет

по лабораторной работе №2

по дисциплине «Математические основы теории систем»

Тема: Корреляционный метод измерения задержки сигнала

Студенты гр. 1391		Поникаровский А. В. Тирик Б. Д.
Преподаватель		Гульванский В. В.

Санкт-Петербург

2023

Цель работы: анализ возможностей корреляционных методов выделения сигнала из шума и измерения его параметров.

Теоретические положения.

Корреляция (correlation), и её частный случай для центрированных сигналов – ковариация – это мера схожести двух сигналов. Приведём один из вариантов использования корреляционной функции. Допустим, нам надо найти в тексте некоторый символ. Скользя по тексту, прикладываем символ к каждой букве, проверяя их сходство. Аналогично решается задача обнаружения некоторой последовательности известной формы и конечной длины в принимаемом сигнале .

Для поиска этой последовательности в скользящем по сигналу временном окне длиной вычисляется интеграл от произведения процессов и :

В дискретной форме есть скалярное произведение векторов и :

Скалярное произведение используется как мера взаимосвязи двух векторов (процессов). Равенство нулю скалярного произведения означает крайнюю меру их независимости – их ортогональность. Чтобы проверить взаимосвязь векторов при различных сдвигах одного из них на время , необходимо вычислять многократно, для каждого . Если ещё ввести нормирующий множитель для исключения зависимости от длины реализации , получим выражение, называемое взаимной корреляционной функцией (ВКФ):

,

Аналогично для случая непрерывного сигнала:

Теперь скалярное произведение превратилось в свёртку двух векторов.

Скалярное произведения сигнала с собственной копией, скользящей по аргументу, а функцию называют автокорреляционной функцией – АКФ:

.

Автокорреляция позволяет оценить среднестатистическую зависимость текущих отсчётов сигнала от своих предыдущих и последующих значений (так называемый радиус корреляции значений сигнала), а также выявить в сигнале наличие периодически повторяющихся элементов.

В корреляционном анализе часто вид корреляционной функции не имеет значения: интерес представляет один из её параметров. В приведённых выше примерах хотя и вычисляется вся корреляционная функция, однако в первой задаче анализируется только величина максимального значения, а во второй – положение её максимума на временной оси. Для анализа длительности лечебного воздействия прививок в медицине анализируют ширину корреляционной функции, и т.д.

КФ, вычисленная по центрированному значению сигнала , представляет собой ковариационную функцию сигнала:

Обработка результатов

1. Создадим излучаемый и принятый импульсы из длинной нулевой последовательности

X = zeros (1,10000);

Y = zeros (1,10000);

X(1:100) = 5;

Y(301:400) = 1;

Посчитаем R_xx(τ) – автокорреляционную функцию и построим её график (рис.1).

conv_R = conv(X,Y);

conv_R = conv_R(1:1000);

plot(conv_R);

title('Автокорреляция одного импульса');

xlabel('Время t');

ylabel('Значение');

Рис. 1. Автокорреляция одного импульса

Добавим ещё один отправленный и принятый импульс.

X(3500:3600)=5;

Y(3801:4000)=1;

Посчитаем новую R_xx(τ) –корреляционную функцию и построим её график (рис. 2).

xcorr_R = xcorr(X);

figure;

plot(xcorr_R);

xlim([6000 14000]);

ylim([0 5200]);

xticks (6000:1000:14000);

title('Корреляция двух импульсов');

xlabel('Время t');

ylabel('Значение');

Рис. 2. Корреляция двух импульсов

Первый лепесток – автокорреляция первого импульса, приходящаяся на t = 6500, где первый отправленный и принятый сигналы совпадают.

Пик – корреляция первого и второго сигнала, приходящаяся на t=10000.

Второй лепесток – автокорреляция второго импульса, приходящаяся на t = 13500, где второй отправленный и принятый сигналы совпадают.

2. Создадим ещё более сложный сигнал, в котором нет периодических повторов импульсов и построим его график (рис. 3).

t = 0:0.1:100;

s=3;

p=0;

for i = 1:10

p = p + rectpuls(t-s, 3);

s = s + 5 + 10 * rand;

end

figure;

plot(t,p),grid, set(gca,'FontSize',12);

title('Сигнал без периодичных повторов импульсов');

xlabel('Время t');

ylabel('U');

Рис. 3. Сигнал без периодических повторов импульсов

Сымитируем задержку распространения сигнала.

delayed_pulse = zeros(1,300);

delayed_pulse = [delayed_pulse,p];

Вычислим R_xx(τ) и C_xx(τ) и построим их графики (рис. 4 и 5).

xcorr_p = xcorr(p,delayed_pulse);

figure;

plot(xcorr_p);

xlim([0 2000]);

ylim([-20 320]);

title('Корреляция');

xlabel('Время t');

ylabel('Значение');

Рис. 4. Корреляция

xcov_p = xcov(p,delayed_pulse);

figure;

plot(xcov_p);

xlim([0 2400]);

ylim([-100 220]);

xticks (0:400:2400);

title('Ковариация');

xlabel('Время t');

ylabel('Значение');

Рис. 5. Ковариация

Отличие связано с тем, что корреляция является мерой схожести сигналов, а ковариация из зависимости между собой.

3. Наложим на принятый (задержанный) сигнал шум с соотношением SNR 3 ÷ 10 дБ и построим график (рис. 6).

figure;

out = awgn(delayed_pulse,0.3);

plot(delayed_pulse, 'LineWidth',3);

hold on;

plot(delayed_pulse+out);

legend('Меандр','Меандр с шумом');

title('Сигнал без периодичных повторов импульсов c шумом');

xlabel('Время t');

ylabel('U');

hold off;

Рис. 6. Сигнал без периодичных повторов импульсов c шумом

Опытным путём выяснилось, что минимальное значение, при котором ещё возможно измерение задержки, равно 1.5 (рис. 7).

Рис. 7. Сигнал c шумом и значением SNR 1.5

4. В качестве посылаемого сигнала возьмём отрезок синусоиды.

f = 2;

t = 1:0.01:5;

sin_x = sin(2*pi*f*t);

Наложим шум и построим графики (рис.8).

figure

hold on

plot(t,sin_x, 'LineWidth',3);

sin_x_noise = awgn(sin_x, 10);

plot(t,(sin_x+sin_x_noise));

legend('Синусоида','Синусойда с шумом');

title('Синусоида с шумом');

xlabel('Время t');

ylabel('U');

hold off;

Рис. 8. Синусоида с шумом

t=1:0.01:9;

xcorr_R3 = xcorr(sin_x,(sin_x+sin_x_noise));

figure

plot(t,xcorr_R3),grid;

title('Корреляция');

xlabel('Время t');

ylabel('Значение');

Рис. 9. АКФ синусоиды с шумом

Чтобы найти задержку на функции корреляции необходимо найти t при котором будет наибольшее значение функции корреляции. В данном случае при t=5 будет максимальное значение АКФ (рис. 10).

Рис. 10. Задержка АКФ

5. Построим сигнал с помощью кода Баркера и наложим на него шум, и выведем его график (рис. 11).

barker = comm.BarkerCode('Length',13,'SamplesPerFrame',13);

Bar = barker();

Bar = Bar';

t = 0:(length(Bar)*13) - 1;

s0 = square(t);

s(1:169)=0;

for j=1:13

for i=1:13

s(:,i*j) = s0(:,i*j)*Bar(j);

end

end

figure

hold on

plot(t, s,'red', 'LineWidth',1.5);

w_noise = awgn(s,10);

plot(t,w_noise,'blue');

legend('Код Баркера','Код Баркера с шумом');

title('Код Баркера');

xlabel('Время t');

ylabel('U');

hold off

Рис. 11. Код Баркера

Построим шумоподобный (rand) сигнал (рис.12).

K=0:1:13;

X=randi([-1,1],1,14);

w_noise2 = awgn(X,10);

figure

hold on

plot(K,X,'g'), grid;

plot(K,w_noise2,'r'), grid;

legend('Шумоподобный сигнал','Шумоподобный сигнал с шумом');

xlabel('Время t');

ylabel('U');

hold off;

Рис. 12. Шумоподобный сигнал

Посчитаем автокорреляционную функцию и построим график для обоих сигналов.

Для кода Баркера (рис.13).

xcorr_R4 = xcorr(Bar);

plot(xcorr_R4), grid;

title('Автокорреляция');

xlabel('Время t');

ylabel('Значение');

Рис. 13. АКФ для кода Баркера

Для шумоподобного сигнала (рис.14).

R5=xcorr(X);

plot(R5), grid;

title('Автокорреляция');

xlabel('Время t');

ylabel('Значение');

Рис. 14. АКФ для шумоподобного сигнала

6. Повторим пункт 3, где в качестве сигнала используем код Баркера и шумоподобный сигнал.

Наложим на код Баркера шум и построим график (рис. 15).

barker = comm.BarkerCode('Length',13,'SamplesPerFrame',13);

Bar = barker();

Bar = Bar';

t = 0:(length(Bar)*13) - 1;

s0 = square(t);

s(1:169)=0;

for j=1:13

for i=1:13

s(:,i*j) = s0(:,i*j)*Bar(j);

end

end

figure

hold on

plot(t, s,'red', 'LineWidth',1.5);

w_noise = awgn(s, 12.5);

plot(t,w_noise,'blue');

legend('Код Баркера','Код Баркера с шумом');

title('Код Баркера');

xlabel('Время t');

ylabel('U');

hold off

Рис. 15. Код Баркера c шумом и значением SNR 12.5

Опытным путём выяснилось, что минимальное значение, при котором ещё возможно измерение задержки, равно 12.5.

Наложим на шумоподобный сигнал шум и построим график (рис. 16).

K=0:1:13;

X=randi([-1,1],1,14);

w_noise2 = awgn(X,11);

figure

hold on

plot(K,X,'g'), grid;

plot(K,w_noise2,'r'), grid;

legend('Шумоподобный сигнал','Шумоподобный сигнал с шумом');

xlabel('Время t');

ylabel('U');

hold off;

Рис. 16. Шумоподобный сигнал c шумом и значением SNR 11

Опытным путём выяснилось, что минимальное значение, при котором ещё возможно измерение задержки, равно 11.

7. Найдём E (мат. ожидание), σ, σ²

t =0:1:10000;

fn = 100;

fc = 1;

m = 0.5;

Моногармонический:

mono = sin(2*pi*fc*t);

mat1 = mean(mono);

dispers1 = var(mono);

dispers12 = dispers1^(1/2);

histogram(mono);xlabel('Моногармонический');grid on;

E = -1.898861239877101e-15

σ = 1.109024494078334e-24

σ² = 1.053102318902743e-12

Рис. 17. Гистограмма моногармонического сигнала

C линейной частотой модуляцией:

lin = sin(2*pi*fc*t.^2);

mat2 = mean(lin);

dispers2 = var(lin);

dispers22 = dispers2^(1/2);

histogram(lin);xlabel('С линейной частотой модуляцией');grid on;

E = 2.664439078993618e-11

σ = 8.036504472626515e-17

σ² = 8.964655304375353e-09

Рис. 18. Гистограмма сигнала с линейной частотой модуляцией

С амплитудной модуляцией:

ampl = sin(2*pi*fn*t).*(1+m*sin(2*pi*fc*t));

mat3 = mean(ampl);

dispers3 = var(ampl);

dispers32 = dispers3^(1/2);

histogram(ampl);xlabel('С амплитудной модуляцией');grid on;

E = 1.942666751642201e-11

σ = 3.105715327679667e-20

σ² = 1.762303982767918e-10

Рис. 19. Гистограмма сигнала с амплитудной модуляцией

С частотной модуляцией:

chastot = sin(2*pi*fc*(cos(0.5*t)).*t);

mat4 = mean(chastot);

dispers4 = var(chastot);

dispers44 = dispers4^(1/2);

histogram(chastot);xlabel('С частотной модуляцией');grid on;

E = 0.002175707813835

σ = 0.494195349556964

σ² = 0.702990291225252

Рис. 20. Гистограмма сигнала с частотной модуляцией

С фазовой модуляцией:

phase = sin(2*pi*fn*t+5*sin(2*pi*t));

mat5 = mean(phase);

dispers5 = var(phase);

dispers55 = dispers5^(1/2);

histogram(phase);xlabel('С фазовой модуляцией');grid on;

E = 1.942666751642212e-11

σ = 3.105715327679660e-20

σ² = 1.762303982767916e-10

Рис. 21. Гистограмма сигнала с фазовой модуляцией

Вывод

Мы проанализировали возможности корреляционных методов выделения сигнала из шума и измерения его параметров. Построили различные сигналы, на которые были наложены шумы, также абстрактные сигналы: шумообразный сигнал, сигнал на основе кода Баркера и т.п. Для этих сигналов было изучено поведение корреляции и автокорреляции. Также были изучены различные виды сигналов и модуляции, их математическое ожидания, дисперсии, также для них построены гистограммы.