4 лабораторная МОТС
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА) Кафедра АПУ
ОТЧЕТ по лабораторной работе №3
по дисциплине «Математические основы теории систем» Тема: Дискретные системы
|
|
|
Поникаровский А. В. |
Студенты гр. 1391 |
|
Тирик Б. Д. |
|
Преподаватель |
|
|
Гульванский В. В. |
Санкт-Петербург
2023
Цель работы:
Знакомство с дискретными системами и операцией дискретной свертки;
Расчёт импульсной и частотных характеристик;
Изучение визуальных средств проектирования цифровых фильтров;
Теоретические положения.
Дискретный фильтр — это произвольная система обработки дискретного сигнала T x(n) z(n) , обладающая свойствами:
|
Линейности: T x(n) y(n) T x(n) T z(n) ; |
|
Стационарности: T x(n k) z(n k) ; |
Существуют также фильтры с переменными параметрами, не обладающие свойством стационарности – адаптивные фильтры.
В общем случае дискретный фильтр суммирует (с весовыми коэффициентами) некоторое количество входных отчетов (включая последний) и некоторое количество предыдущих выходных отсчетов:
y(k) b x(k) b x(k 1) |
b x(k P) |
||
0 |
1 |
|
P |
a y(k 1) a y(k 2) |
a |
y(k Q) |
|
1 |
2 |
Q |
|
Выделяют фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХфильтры) и с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры). Для
КИХ-фильтров выполняется условие |
aj |
0 j . Таким образом, главным |
отличием БИХ-фильтров является наличие обратной связи и потенциальная неустойчивость.
Уравнение БИХ-фильтра:
|
P |
Q |
|
|
y(k) bi x(k i) a j y(k j) |
||
|
i 0 |
j 1 |
|
Здесь: a j |
и bi – вещественные коэффициенты. |
||
Уравнение КИХ-фильтра: |
|
|
|
|
|
P |
|
|
y(k) |
i |
i) |
|
b x(k |
||
|
|
i 0 |
|
Здесь: bi |
– вещественные коэффициенты. |
|
|
Пусть x(k) (k) . Тогда: |
|
|
|
Импульсная функция БИХ-фильтра записывается следующим образом:
P Q
h(k) bi (k i) a j h(k j)
i 0 |
j 1 |
Z-преобразование импульсной функции даёт передаточную функцию БИХ-фильтра:
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|
Y (z) |
|
b z |
|
|
H (z) |
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
X (z) |
|
Q |
|
|
|
|
1 a j z |
j |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
j 1 |
|
|
Импульсная функция КИХ-фильтра записывается следующим образом:
|
P |
h(k) |
i |
b (k i) |
|
|
i 0 |
Z-преобразование импульсной функции даёт передаточную функцию КИХ-фильтра:
|
Y (z) |
|
P |
|
H (z) |
|
i |
i |
|
|
b z |
|||
X (z) |
|
|||
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
Комплексный коэффициент передачи определяется следующим образом:
K ( ) H (e |
j T |
) |
|
Амплитудно-частотная характеристика
комплексного коэффициента передачи: A 
K ( )
(АЧХ) фильтра – модуль
.
Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) фильтра – фаза комплексного
коэффициента передачи: arg K ( ) .
По виду АЧХ выделяют следующие фильтры (Рис. 3.8):
нижних частот (ФНЧ);
верхних частот (ФВЧ) частот;
полосовые (ПФ);
режекторные (РФ);
Рис. 3.8. Классификация фильтров по виду АЧХ
На Рис. 3.8 введены следующие обозначения:
fs – частота дискретизации;
f pass , f pass1, f pass2 – граничные частоты полосы пропускания (ПП);
fstop , fstop1, fstop 2 – граничные частоты полосы задерживания (ПП);
d1 – неравномерность в полосе пропускания;
d2 – неравномерность в полосе задерживания;
КИХ-фильтр обладает рядом полезных свойств, из-за которых он иногда более предпочтителен в использовании, чем БИХ-фильтр. Вот некоторые из них:
КИХ-фильтры устойчивы.
КИХ-фильтры при реализации не требуют наличия обратной связи.
Фаза КИХ-фильтров может быть сделана линейной
Различают два вида реализации цифрового фильтра: аппаратный и программный.
Аппаратные цифровые фильтры реализуются на элементах интегральных схем, ПЛИС, тогда как программные реализуются с помощью программ, выполняемых процессором или микроконтроллером. Преимуществом программных методов перед аппаратными является лёгкость воплощения, а также настройки и изменений, а также то, что в себестоимость такого фильтра входит только труд программиста. Недостаток – низкая скорость, зависящая от быстродействия процессора, а также трудная реализуемость цифровых фильтров высокого порядка.
Обработка результатов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1. |
Рассчитаем реакцию КИХ-фильтра 3-го порядка, заданного разностным |
||||||||||||||||
|
|
уравнением (рис. 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
n |
|
0.2x |
|
n |
|
0.3x |
|
n 1 |
0.5x |
|
n 2 |
|
0.7x |
|
n 3 |
|
|
n 0 64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x n 0.1sin Tn , |
T 0.7 рад |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
b= [0.2 0.3 0.5 0.7]; a = 1;
n = 0 : 64;
x = 0.1 * sin (0.7 * n); y = filter (b,a,x); figure;
plot (n, x,'LineWidth', 2); hold on;
plot (n, y); grid on; xlim([0 64]);
title("КИХ - фильтр"); xlabel ('Частота'); ylabel ('Амплитуда');
legend('входной сигнал', 'выходной сигнал'); hold off;
Рис. 1. КИХ фильтр
2. Рассчитаем реакцию БИХ-фильтра 3-го порядка, заданного разностным уравнением (рис. 2)
y n x n x n 1 x n 2 x n 3 0.3y n 1 0.25y n 2 0.4 y n 3 n 0 64 x n 0.1sin Tn , T 0.7 рад
b = [1 1 1 1];
a = [1 -0.3 0.25 0.4]; n = 0 : 64;
x = 0.1 * sin (0.7 * n); y=filter (b,a,x); figure;
plot (n, x,'LineWidth', 2); hold on;
plot (n, y); grid on; xlim([0 64]);
title("БИХ - фильтр"); xlabel ('Частота') ylabel ('Амплитуда')
legend('входной сигнал', 'выходной сигнал') hold off;
Рис. 2. БИХ фильтр
3. Вычислим импульсную характеристику БИХ-фильтра, заданного в пункте № 2 (рис. 3)
b= [1 1 1 1];
a = [1 -0.3 0.25 0.4]; n = 0 : 64;
y = dirac(n); idx = y == Inf; y(idx) = 1; y=filter (b,a,y); impz(y), grid
title("Импульсная характеристика БИХ - фильтра"); xlabel ('Частота')
ylabel ('Амплитуда')
Рис. 3. Импульсная характеристика БИХ фильтра
4. Вычислим импульсную характеристику пункте № 2, используя функцию impz(), при
БИХ-фильтра, заданного в N 80 , Fs 5000 Гц (рис. 4)
b= [1 1 1 1];
a = [1 -0.3 0.25 0.4];
impz(b, a, 80, 5000), grid on; title("Импульсная характеристика"); xlabel ('N')
ylabel ('импульсная характеристика БИХ-фильтра (2)')
Рис. 4. Импульсная характеристика БИХ фильтра impz()
5.Используя утилиту fdatool синтезируем полосовой КИХ-фильтр со следующими параметрами (нормированная полоса частот).
полоса пропускания 0,35-0,7;
полоса задерживания 0-0,15 0,8-1;
неравномерности по 0,025 в ПП и ПЗ;
Синтезируем полосовой КИХ-фильтр с данными параметрами (рис. 5)
Рис. 5. КИХ-фильтр в filter Designer
Найдём ИХ, АЧХ и ФЧХ фильтра (рис. 6-8)
Рис. 6. ИХ КИХ-фильтра
Рис. 7. АЧХ КИХ-фильтра
Рис. 8. ФЧХ КИХ-фильтра
6.По заданному набору коэффициентов КИХ-фильтра получить его АЧХ, ФЧХ и ИХ
b= [0 0.026477 0 0 0 -0.044116 0 0 0 0.093436 0 0 0 -0.31394 0 0.5 0 -0.31394 0 0 0 0.093436 0 0 0 -0.044116 0 0 0 0.026477 0];
Синтезируем по заданному набору коэффициентов КИХ-фильтр (рис. 9)
Рис. 9. КИХ-фильтр в filter Designer