Добавил:

akimanakim Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математические основы теории систем

Файл:

3 лабораторная МОТС

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.01.2025

Размер:

2.8 Mб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

МИНОБРНАУКИ РОССИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА) Кафедра АПУ

ОТЧЕТ по лабораторной работе №3

по дисциплине «Математические основы теории систем» Тема: Спектр. Ряд Фурье

			Поникаровский А. В.
Студенты гр. 1391			Тирик Б. Д.
Преподаватель			Гульванский В. В.

Санкт-Петербург

2023

Цель работы:

Знакомство со спектральным представлением периодических и случайных процессов;

Изучение взаимосвязи преобразований сигналов во временной и частотной областях;

Оценка дефектов дискретного преобразования Фурье и методы их подавления.

Теоретические положения.

Поставим задачу: представить

некоторый

сложный периодический

процесс

x(t)

, заданный

на

интервале

[0,T ],

виде

суммы простых

периодических функций вида (t) sin( t ) a cos( t) bsin( t) .

Периодичность x(t)

гарантирует,

что в

таком

разложении

будут

присутствовать только гармоники кратных частот

n 0 , n

– целое, 0

. При

n 0

получим постоянную составляющую,

обычно записываемую в

форме

, а все разложение будет иметь вид:

x(t)

(a cos t b sin t) (a

cos 2 t b

sin 2 t) ...

an cos n 0t bn sin n 0t,

n 1

Данное разложение называется рядом Фурье.

Коэффициенты этого ряда рассчитываются по формулам:

		1	T /2
0		1		x(t)dt
0
a		T
		T	T /2
			T /2
		2	T /2
n		2		0
a		T		x(t) cos n dt
		T	T /2
			T /2
		2	T /2
n		2		0
n				0
b		T		x(t)sin n dt
		T	T /2
			T /2
Если воспользоваться	формулой Эйлера exp( j ) cos jsin ,

получим более простую запись ряда Фурье в комплексной форме:

x(t) Fne jn 0t

T /2

x(t)e

jn t

– коэффициенты ряда Фурье или спектр

T /2

Совокупность функций e jn 0t называется базисом Фурье.

Комплексные

коэффициенты

обычно

представляют в

форме

Sne

jVn

, где

–

амплитудный

спектр;

U 2

V 2

	arctg	V		– фазовый спектр;
	arctg	n		– фазовый спектр;
		n
n		U
		U	n
			n

мнимая составляющая спектра.

U	n

– реальная составляющая спектра;

–

Для анализа непериодических	процессов
преобразование Фурье:

X ( )	x(t)e	j t	dt
X ( )	x(t)e		dt

(

)

служит

Широкое распространение спектрального представления сигналов объясняется следующими причинами:

Гармонические функции – единственные, не меняющие своей формы при прохождении через линейную систему: может измениться только их амплитуда и фаза, но не форма, а, значит, не частота;

Простота синтеза гармонического колебания – для этого достаточно иметь колебательный контур или любую другую резонансную систему. Разложить в спектр Фурье оптический сигнал может любая двояковыпуклая линза, радиосигналы в эфире тоже представлены электромагнитными волнами – гармониками ряда Фурье;

Графическое представление спектральных коэффициентов на частотной оси – спектра сигнала – позволяет получить наглядную картину распределения в сигнале низких и высоких частот;

Частотные характеристики используются не только для анализа сигналов, но и для анализа свойств динамических систем.

Чтобы построить спектр с помощью ДПФ (БПФ), надо определить следующие параметры:

количество спектральных составляющих N ;

шаг между соседними частотами – разрешение по частоте ƒ;

частоту дискретизации fs ;



минимальную (нижнюю) частоту спектра

нижн ;

 верхнюю частоту

fверх

;

 временной интервал анализа T .

На самом деле, эти параметры жестко связаны друг с другом, и для

однозначного построения спектра достаточно задать всего две величины.

Как правило, анализ начинается с выбора временной базы анализа T

частоты

дискретизации

s .

При

этом

оказываются

определенными

количество

отсчетов

сигнала

N T ƒ

s ,

минимальная частота спектра:

нижн

1 / T

. А поскольку количество спектральных коэффициентов равно

количеству

отсчетов

сигнала

N , оказываются определенными и верхняя

частота

преобразования

ƒверх fнижн N ƒs ,

и шаг

между соседними

частотами ƒ=

нижн .

Спектр

сигнала

(сейчас

мы

рассматриваем только вещественные

функции) будет состоять из двух зеркально отраженных картин. Для комплексного спектра этого не происходит, однако в спектре появляются отрицательные частоты.

Теорема Котельникова – фундаментальное утверждение в области цифровой обработки сигналов, связывающее непрерывные и дискретные

сигналы.
Формулировка: Любой сигнал s(t) , спектр которого			не содержит
составляющих с частотами выше некоторого значения	в	2 f	в , может быть
составляющих с частотами выше некоторого значения	в		в , может быть

без потерь информации представлен своими дискретными отсчетами s(kT ) ,

взятыми			с интервалом		T , удовлетворяющим следующему неравенству:
T	1			.
	2 f
		в
			в

Преобразование Фурье в дискретной форме (ДПФ) имеет и другие недостатки. Главный из них – растекание спектра. Растекание спектра (англ. spectrum leakage) – эффект, возникающий вследствие финитности анализируемого сигнала (фактически бесконечный сигнал взвешивается финитным прямоугольным окном). Для подавления этого эффекта используют взвешивание сигнала специальными оконными функциями (окна Чебышева, Ханна, Парзена и т.д.).

При спектральном преобразовании сигнала могут использоваться и другие – не гармонические – функции. В этом случае говорят об обобщенном

	1	T /2
преобразовании Фурье: Fn	1		x(t)
	T

		T /2
		T /2

Главные требования к функциям

n	(t

	n

)dt .

– их ортогональность и полнота.

Два вектора	X	i ,	X j

скалярное произведение

называют

Y равно

взаимноортогональными,

нулю:

[xi 1 , xi 2 ,

если

, xi (N

их

)];

X	j	[x	j	1 , x	j	2	,
	j		j		j

, x	(N )]
j

; Y Xi (n) * X j (n) 0 .

n 1

Если

при

этом

норма

каждого

вектора

равна

X i (n) X i (n) 1 , векторы называют ортонормальными.

n 1

Для любого вектора размерности (длины) N

можно найти

и только

ортогональных векторов. Такой набор векторов называют

полной

ортонормальной системой, или базисом

N -мерного

линейного

пространства.

N 2

Рассмотрим для примера два базиса в пространстве

Первый базис задается матрицей:


	1	1	1	1	1	1	1	1
		1	1	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1	1	1	1

	1	1	1	1	1	1	1	1
		1	1	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1	1	1	1
W
W
3		1	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1	1	1	1
		1	1	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1	1	1	1

		1	1	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1	1	1	1
		1	1		1
	1	1	1	1	1	1	1	1

или в графической форме (каждая функция –

одна из строк матрицы

1
0.5
0
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8

Второй базис зададим матрицей (Рис. 3.6):

A =
0.1250	0.5026	0.4275	0.8550	0.2138	0.6917	0.4275
0.8550
0.2138	-0.2939	0.7310	-0.5000	0.3655	-0.4045	0.7310
-0.5000
0.2513	0.4755	-0.2939	-0.8090	0.4297	0.6545	-0.2939
-0.8090
0.3458	-0.3455	-0.4045	0.5878	0.5914	-0.4755	-0.4045
0.5878
0.5026	0.8090	0.8090	1.0000	-0.2939	-0.5878	-0.8090
-1.0000
0.5026	-0.8090	0.8090	-1.0000	-0.2939	0.5878	-0.8090
1.0000
			6

0.6917 0.8090 -0.5878 -1.0000 -0.4045								-0.5878	0.5878
1.0000
0.6917 -0.8090			-0.5878		1.0000		-0.4045	0.5878	0.5878
-1.0000
или графически:
1
0.5
0
1		2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1		2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1		2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1		2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1		2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1		2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1		2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1		2	3	4	5	6	7	8
Сравним эти базисы. Прежде всего, бросается в глаза равенство									1 всех
W	3	. Это очень удобное свойство базисных функций: при
элементов матрицы	3	. Это очень удобное свойство базисных функций: при

умножении на такую функцию временные затраты минимальны. Во втором базисе это свойство потеряно. Первая строка базиса обычно служит для выделения постоянной составляющей из исследуемого сигнала и в классических базисах все ее элементы равны единице. При этом все остальные функции не реагируют на постоянную составляющую вследствие симметричности их относительно нуля. Этого во втором базисе тоже нет. Поэтому первый базис используется очень широко и носит название базиса Уолша, а второй базис кроме вас никто не видел.

Приведём ещё один весьма широко используемый базис – базис Хаара:


		1	1	1	1	1	1	1	1
			1	1	1	1	1	1
		1	1	1	1	1	1	1	1

		1	1	1	1
						1	1	1
						1	1	1	1
H
H	3		1
	3
		1
				1	1
				1	1

						1	1
									1
								1	1

1
0.5
0	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8

Его главное достоинство – большое количество нулевых элементов. Это не только ускоряет вычисления спектра, но и обеспечивает сжатое представление сигналов с резкими перепадами. Это объясняется тем, что каждая функция (за исключением первых двух) выделяет только некоторую локальную область существования сигнала.

Для упрощения здесь базис Хаара приведён в ненормированной форме: чем уже импульс, тем меньше его энергия.

Обработка результатов

1. Создадим два сигнала x1=cos(2*pi*f1*t); x2=4*cos(2*pi*f2*t).

Частота дискретизации 4096, время анализа 1 секунда. Частоты f1 и f2 равны

100 и 350 Гц. Получим модуль спектра двух сигналов, построим его график

(рис. 1, рис. 2, рис. 3, рис. 4, рис. 5).

fs = 4096; dt = 1/fs; t = 0:dt:1; f1=100; f2=350;

x1=cos(2*pi*f1*t);

x2=4*cos(2*pi*f2*t);

plot(t,x1,t,x2,'LineWidth', 1); xlim([0 0.03]);

grid on; title("Сигналы"); xlabel("Частота"); ylabel("Амплитуда"); legend('x1','x2');

R_mod1=abs(fft(x1)); figure; area(t,R_mod1), grid; xlim([0.02 0.03])

title("Амплитудный спектр первого сигнала x1 (первая гармоника)");

xlabel("Частота");

ylabel("Модуль Фурье-образа сигнала");

R_mod2=abs(fft(x2)); figure; area(t,R_mod2), grid; xlim([0.075 0.095])

title("Амплитудный спектр второго сигнала x2 (первая гармоника)");

xlabel("Частота");

ylabel("Модуль Фурье-образа сигнала");

Рис. 1. График созданных сигналов

Рис. 2. Амплитудный спектр первого сигнала

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математические основы теории систем

#
02.01.2025938.02 Кб01 лабораторная МОТС.docx
#
02.01.20251.38 Mб01 лабораторная МОТС.pdf
#
02.01.202588 б01st_try_1st_lab.m
#
02.01.2025756.5 Кб02 лабораторная МОТС.docx
#
02.01.20252.67 Mб03 лабораторная МОТС.docx
#
02.01.20252.8 Mб03 лабораторная МОТС.pdf
#
02.01.2025167.46 Кб03 форточки.jpg
#
02.01.2025153.92 Кб03_lab_10.pdf
#
02.01.2025857.9 Кб04 лабораторная МОТС.docx
#
02.01.20251.24 Mб04 лабораторная МОТС.pdf
#
02.01.202531.27 Кб0404.png


	1	1	1	1	1	1	1	1
		1	1	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1	1	1	1

	1	1	1	1	1	1	1	1
		1	1	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1	1	1	1
W
W
3		1	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1	1	1	1
		1	1	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1	1	1	1

		1	1	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1	1	1	1
		1	1		1
	1	1	1	1	1	1	1	1

1
0.5
0
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8


		1	1	1	1	1	1	1	1
			1	1	1	1	1	1
		1	1	1	1	1	1	1	1

		1	1	1	1
						1	1	1
						1	1	1	1
H
H	3		1
	3
		1
				1	1
				1	1

						1	1
									1
								1	1

1
0.5
0	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8


	1	1	1	1	1	1	1	1
		1	1	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1	1	1	1

	1	1	1	1	1	1	1	1
		1	1	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1	1	1	1
W
W
3		1	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1	1	1	1
		1	1	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1	1	1	1

		1	1	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1	1	1	1
		1	1		1
	1	1	1	1	1	1	1	1

1
0.5
0
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8


		1	1	1	1	1	1	1	1
			1	1	1	1	1	1
		1	1	1	1	1	1	1	1

		1	1	1	1
						1	1	1
						1	1	1	1
H
H	3		1
	3
		1
				1	1
				1	1

						1	1
									1
								1	1

1
0.5
0	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8


	1	1	1	1	1	1	1	1
		1	1	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1	1	1	1

	1	1	1	1	1	1	1	1
		1	1	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1	1	1	1
W
W
3		1	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1	1	1	1
		1	1	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1	1	1	1

		1	1	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1	1	1	1
		1	1		1
	1	1	1	1	1	1	1	1

1
0.5
0
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8
1
0
-1
1	2	3	4	5	6	7	8


		1	1	1	1	1	1	1	1
			1	1	1	1	1	1
		1	1	1	1	1	1	1	1

		1	1	1	1
						1	1	1
						1	1	1	1
H
H	3		1
	3
		1
				1	1
				1	1

						1	1
									1
								1	1

1
0.5
0	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8
1
0
-1	1		2	3		4	5	6		7	8
	1		2	3		4	5	6		7	8