ЛпМА_Бесов

используя разложение 1 по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (или в форме Пеано и теорему единственности).

Упражнение 3. Найти

используя разложения функций по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Замечание 2. Формулу Тейлора в случае 0 0 называют также формулой Маклорена.

§ 6.3. Раскрытие неопределённостей (правило Лопиталя)

Пусть в задаче о нахождении предела отношения при

0 и числитель и знаменатель стремятся к нулю либо к бесконечности. В этих случаях говорят, что мы имеем дело

с неопределённостью вида 0 или соответственно. Нахожде-

ние этого предела (если он0существует) называют раскрытием неопределённости. Одним из приёмов раскрытия неопределённости является выделение главных частей числителя и знаменателя (см. упр. 6.2.3). Здесь будет обоснован другой способ, называемый правилом Лопиталя и состоящий в том, что вычисление предела отношения функций заменяется вычислением предела отношения их производных.

дённом доказательстве два раза было использовано свойство предельного перехода в суперпозиции функций, причём в ситуации, не рассмотренной в § 4.2. Читателю предлагается обосновать соответствующие предельные переходы в качестве упражнения (один из способов такого обоснования опирается на определение 3.3.2).

Теорема 3. Пусть:

1Æ функции , # дифференцируемы на интервале , ,

86 Гл. 6. Свойства дифференцируемых функций

Первый множитель правой части равенства (2) мало отличается от 1: его значение принадлежит интервалу 1 3 , 1 3 .

.

0

Теорема доказана.

В качестве некоторого пояснения к её доказательству покажем, как выбрать 3 , в зависимости от . Остановимся лишь на случае 0 . Тогда второй множитель правой части равенства (2) лежит в , , а первый (как мы видели) — в 1 3 , 1 3 . Следовательно, их произведение лежит в интервале

3 3 2, 3 3 2 , где 3 3 , 3 3 2.

Замечание 1. Теоремы 1–3 остаются в силе в случаях предельных переходов 0, 0, , ,

с соответствующими изменениями их формулировок.

Здесь первое равенство написано при условии, что предел его правой части существует, и становится оправданным после доказательства существования этого предела.

Г л а в а 7

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ

§ 7.1. Монотонность и экстремумы функции

Теорема 1. Пусть функция дифференцируема на , . Тогда:

1Æ условие 0 ( 0) на , необходимо и достаточно для того, чтобы функция возрастала (убывала) на , ;

2Æ условие 0 ( 0) на , достаточно, чтобы функция строго возрастала (строго убывала) на , .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность следует из формулы конечных приращений Лагранжа

2 1 2 1 , 1 2

Необходимость. Пусть возрастает на , , 0, , . Тогда 0 0. Следовательно, 0 0.

0

Заметим, что условие 0 на , не является необходимым для строгого возрастания функции на , , как это видно на примере 3, 1, 1 .

Определение 1. Точка 0 называется точкой максимума (минимума) функции , если на некоторой окрестности 0 функция определена и

0 0 0

Если при этом знак ( ) можно заменить на ( ), то точка 0 называется точкой строгого максимума (строгого минимума) функции .

Точки максимума (строгого максимума) и точки минимума (строгого минимума) называются точками экстремума (строгого экстремума).

Поскольку определение точки максимума связано с поведением функции в сколь угодно малой окрестности этой точки, часто вместо термина «максимум» употребляют термин «локальный максимум». Аналогично объясняются термины «локальный минимум», «строгий локальный максимум (минимум)», «локальный экстремум», «строгий локальный экстремум».

Теорема 2 (Ферма) (необходимые условия экстремума).

Пусть 0 — точка экстремума функции . Тогда либо производная 0 не существует, либо 0 0.

Пусть функция непрерывна в точке 0 и дифференцируема на

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, для определённости, 0 на0 0 , 0 на 0 0 . Тогда из формулы конечных приращений Лагранжа 0 0 видно, что приращение функции меняет знак с « » на « » при переходе через точку 0. Следовательно, 0 является точкой строгого максимума функции .

Условия теоремы не являются необходимыми условиями экстремума, как это видно на примере функции

Теорема 4 (достаточные условия точек строгого экстремума, точек возрастания и точек убывания в терминах производных высших порядков). Пусть 0 ... 1 0 0,

0 0. Тогда точка 0 является:

Замечание 1. В задаче об отыскании наибольшего (или наименьшего) значения функции , с помощью доказанных теорем можно найти точки экстремума, лежащие лишь на интервале , . После этого следует сравнить значения функции в них со значениями , .

написать ( ), то функция называется строго выпуклой вверх (строго выпуклой вниз) на интервале , .

При этом интервал , называется соответственно интервалом выпуклости вверх, выпуклости вниз, строгой выпуклости вверх, строгой выпуклости вниз функции .

Условие выпуклости вверх функции можно записать в виде

Последнее неравенство является соотношением между угло-

выми коэффициентами двух различных хорд с концами в точке

, .

Упражнение 1. Сравнивая угловые коэффициенты различных хорд с концами в точке 0, 0 , показать, что на интервале выпуклости вверх функция непрерывна и в каждой точке имеет обе односторонние производные. Показать, что при этом каждая из односторонних производных монотонна и что

0 0 0 0

Вывести отсюда, что функция имеет производную в каждой точке интервала выпуклости вверх за исключением, быть может, не более чем счётного множества точек.

Пример функции 1 , 1, 1 , показывает, что производная не обязательно существует во всех точках интервала выпуклости вверх.

Замечание 1. Нередко функцию, выпуклую вниз, называют выпуклой, а выпуклую вверх — вогнутой.

Теорема 1 (условия выпуклости функций). Пусть функция

имеет вторую производную на , . Тогда:

1Æ условие 0 ( 0) на , необходимо и достаточно для выпуклости вверх (вниз) функции на , ;

2Æ если 0 ( 0) на , , то функция строго выпукла вверх (вниз) на , .